Efektywna roczna stopa procentowa

Z Encyklopedia Zarządzania
Skocz do: nawigacja, szukaj
Efektywna roczna stopa procentowa
Pojęcie nadrzędne
Pojęcia związane
Metody i techniki

Efektywną roczną stopą procentową nazywamy stopę oprocentowania rocznego równoważną danej stopie oprocentowania składowego. Jest uzależniona od nominalnej stopy procentowej oraz okresów, w jakich następuje kapitalizacja odsetek, tj. od częstotliwości kapitalizacji.

Efektywna roczna stopa procentowa oznacza, o ile procent zwiększa się wartość kapitału w ciągu jednego roku

Wzór na efektywną roczną stopę procentową

Efektywną roczną stopę procentową obliczamy ze wzoru\[r_{ef}=(1+\frac{r}{m})^{m}-1\]

Gdzie:

  • \(r_ef\) - efektywne oprocentowanie roczne
  • \(r\) - nominalne oprocentowanie roczne
  • \(m\) - liczba kapitalizacji w roku (np. dla dla kapitalizacji półrocznej m=2 , kwartalnej m=4 , miesięcznej m=12 )

Jak wynika ze wzoru, efektywne oprocentowanie roczne zależy przede wszystkim od :

  • nominalnego oprocentowania rocznego \(r\)
  • liczby kapitalizacji w roku \(m\) – występującego zarówno w wykładniku potęgi jak i w mianowniku ułamka


Wnioski wynikające z analizy wzoru

Przy ustalonej stopie nominalnej, uwzględniając zależność stopy efektywnej od rocznego czynnika oprocentowującego, możemy sformułować następujące wnioski:

  • stopa efektywna jest równa stopie nominalnej jedynie przy kapitalizacji rocznej
  • stopa efektywna jest większa od stopy nominalnej, jeśli okres kapitalizacji jest krótszy od roku
  • stopa efektywna jest tym większa, im częściej kapitalizuje się odsetki
  • stopa efektywna jest największa przy kapitalizacji ciągłej.

Przykładowe zadanie dotyczące ustalania \(r_ef\)

Treść zadania:

  • Do banku zostaje złożony depozyt na 10% rocznie, przy kapitalizacji półrocznej. Nalezy wyznaczyć efektywną roczną stopę procentową.

Symbole

  • \(r\)= 10%
  • \(m\)= 2 ( kapitalizacja półroczna)
  • \(r_ef\) - efektywne oprocentowanie roczne

Rozwiązanie:

  1. \(r_ef=(\frac{1+0,1}{2})^{2}-1,00\)
  2. \(r_ef=(1,05)^{2}-1,00\)
  3. \(r_ef=1,1025-1,00\)
  4. \(r_ef=10,25%\)

A więc dla podanych warunków efektywne oprocentowanie roczne wyniesie \(r_ef\) = 10,25% [1]

Efektywna stopa procentowa- pozostałe wzory

Kapitalizacja złożona z dołu (odsetki naliczane na końcu okresu kapitalizacji):

  • zgodna:
  1. \(K_n=K_0*(1+r)^{n}\)
  • niezgodna:
  1. \(K_n=K_0*(1+\frac{r}{m})^{m*n}\)
  2. \(K_0*(1+r)^{n}=K_0*(1+\frac{r}{m})^{n*m}\)
  3. \(r_ef=(1+\frac{r}{m})^{m}-1\)


Kapitalizacja złożona z góry (odsetki naliczane na początku okresu kapitalizacji):

  • zgodna:
  1. \(K_n=K_0*(1-r)^{-n}\)
  • niezgodna:
  1. \(K_{m*n}=K_0*(1-\frac{r}{m})^{-m*n}\)
  2. \(K_0*(1-r)^{-n}=K_0*(1-\frac{r}{m})^{-m*n}\)
  3. \(r_ef=1-(1-\frac{r}{m})^{m}\)

Symbole:

  • \(K_0\) - Kapitał początkowy
  • \(K_n\) - Kapitał po n okresach
  • \(m\) - liczba kapitalizacji
  • \(n\) - okresy


Bibliografia

  • Gemzik-Salwach A., Analiza komparatywna koncepcji czasowej struktury stóp procentowych : podejście analityczne i krytyczne, e-Finanse, rocznik: 2010 tom:6 nr.2 str. 40-52
  • Jakubowski J., Palczewski a., Rutkowski m., Matematyka finansowa, instrumenty pochodne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
  • Klimkowska J., Podgórska M., Matematyka Finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
  • Kłodzińska A., Analiza kointegracji stóp procentowych w Polsce, Zeszyty Naukowe Wydziału Nauk Ekonomicznych Politechniki Koszalińskiej 2010 | nr 14 | 107--114
  • Rutkowski A., Zarządzanie finansami, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2007.
  • Pilska S.R., Wprowadzenie do matematyki finansowej, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2005.

Przypisy

  1. Rutkowski A., Zarządzanie finansami, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2007r.


Autor: Jakub Jarosz, Paweł Dykas