Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe
Polecane artykuły


"Odchylenie standardowe to przeciętne odchylenie wartości cechy od jej średniej arytmetycznej, pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy jednostek badanej zbiorowości od jej średniej arytmetycznej”[1].

Inaczej jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji, a wariancja to oczekiwana wartość kwadratu odchylenia standardowego zmiennej zmiennej X [2]. Jest to powszechne znany rodzaj błędu średniego, który można zdefiniować jako: "średnie odchylenie pomiarów względem normy. Jest to estymator przybliżający wartość błędu statystycznego, klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie można powiedzieć, że pokazuje on jak szeroko wartości jakiejś wielkości są rozrzucone wokół jednej średniej"[3].

Odchylenie standardowe najlepsze zastosowanie ma dla opisu zróżnicowania w rozkładach normalnych, gdzie wartości zmiennej rozłożone są symetrycznie po obu stronach średniej arytmetycznej[4]. Definiując w najprostszy sposób odchylenie standardowe przedstawia w jakiej odległości wartości jakieś wielkości (inflacja, zwrot z inwestycji) są rozrzucone wokół średniej. Wielkości są bardziej skupione wokół średniej kiedy wartość odchylenia jest mniejsza.

Odchylenie standardowe oznacza się zwykle poprzez małe greckie sigma – \(\sigma\) lub jako \(S (x)\).

\[\sigma = +\sqrt{\sigma^2}\]
\[S (x) = +\sqrt{S^2(x)}\]


\(S^2(x)=\overline{X^2}-\overline{X^2}\)

\(\overline{X}\) - średnia arytmetyczna

Znak"+” przed pierwiastkami informuje o właściwości odchylenia standardowego; odchylenie standardowe zawsze przyjmuje wartości większe lub równe 0. Przy czym wartość zero przyjmuje tylko wtedy gdy wszystkie obserwacje mają taką samą wartość.

Odchylenie standardowe w zarządzaniu organizacją

Odchylenie standardowe jest cennym miernikiem w zarządzaniu nowoczesną organizacją. Między innymi odchylenie standardowe stóp zwrotu z danej inwestycji pomaga, na etapie kwantyfikacji (oceny, analizy), w pomiarze ryzyka związanego z tą inwestycją. Odchylenie standardowe wyznacza margines bezpieczeństwa przedsięwzięcia. Porównując inwestycje o takiej samej oczekiwanej stopie zwrotu, to inwestycja o niższym odchyleniu standardowych jest uznawana za mniej ryzykowną. Ta o wyższym odchyleniu standardowym uważana za bardziej ryzykowną, pomimo iż wyższe odchylenie standardowe wiąże się z tym, że oczekiwane przychody mogą się bardziej odchylać od średniej także w górę (nie tylko w dół) [5]..

Odchylenie standardowe jest jedną z najważniejszych miar zmienności ryzyka inwestycji w akcje. Odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji obliczane jest przez spierwiastkowanie wariancji stopy zwrotu z akcji. Obliczane jest wzorem\[S (x) = \sqrt{S^2(x)}= \sqrt{\sum_{i=1}^n p_i (R_i-R)^2}\]

Gdzie:
S2- wariancja stop zwrotu papieru wartościowego,
Pi- prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej wartości stopy zwrotu,
Ri- i-ta możliwa wartość stopy zwrotu
R- oczekiwana stopa zwrotu danego papieru wartościowego
\[R_t = \frac {P_t-P_{t-1}+D_t}{P_{t-1}}\]
Gdzie:
Rt= stopa zwrotu w okresie t,
Pt- cena papieru wartościowego w okresie t,
Pt-1- cena papieru wartościowego w okresie t-1,
Dt- dywidenda wypłacana w t-tym okresie.
\[ R = \frac{\sum_{t=1}^N R_t}{N} \]
Gdzie:
R -ocena oczekiwanej stopy zwrotu z papieru wartościowego,
Rt- empiryczna stopa zwrotu wyznaczona ze wzoru powyżej,
N- liczba wszystkich analizowanych stóp zwrotu.

Z wyżej przedstawionego wzoru wynika, że odchylenie standardowe stopy zwrotu papieru wartościowego jest to pierwiastek ze średniej ważonej z kwadratów odchyleń możliwych stóp zwrotu od tej oczekiwanej stopy zwrotu, gdzie do obliczeń wykorzystuje się wagi prawdopodobieństwa wystąpienia możliwych stóp zwrotu. Miara ta wskazuje o ile przeciętnie odchylają się (dodatnio lub ujemnie) przeciętne możliwe stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Za większe ryzyko związane z papierami wartościowymi uznaje się te z wyższym odchyleniem standardowym [6].

Odchylenie standardowe wykorzystuje się także przy wyborze strategii dywersyfikacji. W pomiarze skali dywersyfikacji przedsiębiorstwa, pozwala wskazać różnice pomiędzy poszczególnymi rodzajami dywersyfikacji i informuje, jakie jest przeciętne odchylenie od wartości oczekiwanej [7].

Odchylenie standardowe wykorzystywane jest także w przedsiębiorstwach w zakresie zarządzania jakością. W statystycznym sterowaniu procesem (SPC), gdzie zauważono, że każda z poszczególnych cech wyrobu danej partii, wykonane w jednakowych warunkach podlega rozkładowi statystycznemu. Kontrola statystyczna pozwala na eliminację błędów na każdym etapie procesu realizacji i zwiększa prawdopodobieństwo, że wytwarzane wyroby będą zgodne z normami jakościowymi[8].

Excel

Istnieje możliwość obliczenia odchylenia standardowego w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Aby to zrobić należy wpisać w dowolnej, pustej komórce arkusza odpowiednią formułę:

=odch.standardowe (B2:B4)

Gdzie: B2 i B4 to komórki pierwszej i ostatniej wartości analizowanego zbioru.

Przypisy

  1. Bielecka A. (2011). Statystyka dla menedżerów. Teoria i praktyka, Wolters Kluwer Polska, Warszawa, s. 140
  2. Aczel A.D. Sounderpandian J. (2018) ‘’Statystyka w zarządzaniu’’, Polskie Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, s. 166
  3. Gołata E. (2008) Informatyka, ekonometria i statystyka w społeczeństwie informacyjnym, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań, s. 15
  4. Malinowski A. (2015) Statystyka w administracji Wolters Kluwers SA, Warszawa, s. 117
  5. Aczel A.D. Sounderpandian J. (2018) Statystyka w zarządzaniu, Polskie Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, s. 166
  6. Tarczyński W. Mojsiewicz M. (2001) Zarządzanie ryzykiem Podstawowe zagadnienia, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 65
  7. Rajzer M. (2001) Strategie dywersyfikacji przedsiębiorstw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 172
  8. Mazur A. Gołaś H. (2010) Zasady metody i techniki wykorzystywane w zarządzaniu jakością, Wydawnctwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, s. 172

Bibliografia

  • Aczel A.D. Sounderpandian J. (2018) Statystyka w zarządzaniu, Polskie Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Bielecka A. (2011). Statystyka dla menedżerów. Teoria i praktyka, Wolters Kluwer Polska, Warszawa
  • Dziadosz A. (2010). Przegląd wybranych metod wspomagających analizę ryzyka przedsięwzięć budowlanych, Przegląd Budowlany, 7-8
  • Gołata E. (2008) Informatyka, ekonometria i statystyka w społeczeństwie informacyjnym, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań,
  • Malinowski A. (2015) Statystyka w administracji Wolters Kluwers SA, Warszawa
  • Mazur A. Gołaś H. (2010) Zasady metody i techniki wykorzystywane w zarządzaniu jakością, Wydawnctwo Politechniki Poznańskiej, Poznań
  • Rajzer M. (2001) Strategie dywersyfikacji przedsiębiorstw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
  • Sienkiewicz P. (2005). Analiza ryzyka w zarządzaniu projektami systemów, Problem Techniki Uzbrojenia, 95
  • Tarczyński W. Mojsiewicz M. (2001) Zarządzanie ryzykiem Podstawowe zagadnienia, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
  • Tłuczak A. (2013). Zastosowanie dyskryminacyjnych modeliprzewidywania bankructwa do oceny ryzyka upadłości przedsiębiorstw Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu, 2(34)

Autor: Anna Bartuś