Prawdopodobieństwo

Z Encyklopedia Zarządzania
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawdopodobieństwo jest funkcją, która zdarzeniu ze zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\;\) (zbioru wszystkich możliwych zdarzeń) przypisuje liczbę z przedziału \([0,1]\;\). Jeżeli jakieś zdarzenie \(A\;\) przyjmuje wartość równą zero to mówimy, że jest to zdarzenie niemożliwe. Jeżeli jakieś zdarzenie \(B\;\) przyjmuje wartość równą jeden to mówimy, że jest to zdarzenie pewne.

Rodzaje

  • Prawdopodobieństwo klasyczne- Jest to prawdopodobieństwo w którym zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony oraz składa się on z jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.Dla zdarzenia \(A\;\) ze zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\;\) zachodzi wzór\[P (A) = {{|A|}\over{|\Omega|}}\], gdzie \(|A|\;\) oznacza moc zbioru (ilość jego elementów).
  • Prawdopodobieństwo warunkowe- Jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\;\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\;\) oznaczamy je przez \(P (A|B)\; \) i dane jest ono wzorem\[P (A|B) = {{P (A \cap B)}\over{P (B)}}\], gdzie \(P (B)>0\; \)
  • Prawdopodobieństwo całkowite- Jeżeli dla każdego \(A_i\;\) ze zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\;\) spełnione są następujące warunki:
a) \(P (A_i)>0\;\) dla \(i=1,..., n\;\)
b) zdarzenia \(A_i\;\) są parami rozłączne
c) \(A_1 \cup \dots \cup A_n=\Omega\;\)

wtedy dla dowolnego zdarzenia \(B\;\) zachodzi wzór\[P (B)=\sum_{n = 1}^{n} P (B|A_i)P (A_i)\]

Podstawowe własności

Dla dowolnych zdarzeń \(A\;\) oraz \(B\;\) ze zbioru zdarzeń elementarnych \(\Omega\;\) prawdziwe są związki:

a) \(P (A) \geq 0\;\)
b) \(P (A) \leq 1\;\)
c) \(A\subseteq B\Rightarrow P (A)\leq P (B)\)
d) \(P (A\cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)\)
e) \(P (\Omega) = 1\;\)

Bibliografia

  • Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo-MAPLE, J. Ombach, Kraków: Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, 2000.
  • Rachnek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach , W. Krysicki, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1986.
  • Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, W. Fisz, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1969.

Autor: Paweł Dykas