Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego
Polecane artykuły


Schemat Bernoulliego \( N \) prób nazywamy doświadczenie polegające na \( N \) -krotnym powtórzeniu ustalonej próby Barnoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich i nie wpływa na wyniki następnych. "Jeżeli rezultatem danego zdarzenia losowego może być tylko sukses albo porażka, wówczas takie doświadczenie nazywamy doświadczeniem Bernoulliego.Liczba sukcesów w jednym doświadczeniu Bernoulliego może wynosić 1 albo 0 i nazywana jest zmienną losową zero-jedynkową."(Aczel A.P. Sounderpandian J. 2018,) Ogólnie i prosto rzecz ujmując Schemat Bernoulliego przedstawia sytuację, gdy:

  1. Robimy doświadczenie, w którym są możliwe tylko dwa wyniki. Jeden z nich będzie sukcesem, a drugi nazwiemy porażką.
  2. Doświadczenie to można powtórzyć wielokrotnie be zmiany założonych warunków.

Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Barnoulliego o \( N \) próbach sukces otrzyma się dokładnie \( k \) razy \( (0 \le k \le N) \) jest równe\[ P (k, n, p)= \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \]

gdzie\[ p>0 \], \( q>0 \) i \( p + q = 1 \)

\( k= 0,1,2,\ldots, n \)

\( p \) - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie

\( q \) - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie

Próba Bernoulliego

Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe są tylko dwa wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników nazywa się sukcesem, a drugi porażką. Pośród doświadczeń wieloetapowych na dużą uwagę zasługują te polegające na n-krotnym powtórzeniu, które są powtarzane w tych samych warunkach i są od siebie niezależne. Kończą się one tylko jednym wynikiem spośród dwóch. Najlepszymi i najprostszymi przykładami są próby Bernoulliego może być zwykły rzut monetą lub zakup losu na loterii. W pierwszym jak i drugim przypadku możliwe są tylko dwie opcje, a mianowicie orzeł lub reszka oraz los wygrany lub przegrany. Bernoulli podjął badania nad losowymi zdarzeniami. Podjął się także opracowywaniem matematycznych zagadnień, które z dowolnego przedsięwzięcia z którym idzie ryzyko pozwalają oszacować korzyści w danej sytuacji.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego.

Jeżeli w schemacie \( N \) prób Bernoulliego liczba \( (N+1)p \):

  • nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od \( k_0=(N+1)p, \)
  • jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe\[ k_1=(N+1)p-1\] i \( k_2=(N+1)p \)

Wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem\[ D^2X = npq, \]

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem\[ E (X) = np, \]

Moment centralny \( \mu_3 \) zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym)podana jest wzorem\[ \mu_3 = npq (1-2p) \]

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym podana jest wzorem\[ F (x)= \sum_{k<x} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \]


Funkcja rozkładu dwumianowego (rozkładu Bernoulliego) zależy od dwóch parametrów: liczby doświadczeń \( n \) ORAZ prawdopodobieństwa sukcesu \( p \). W zależności od wielkości wcześniejszych parametrów zmienia się kształt funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.:

  • dla \( p=q= \frac{1}{2} \) rozkład dwumianowy jest symetryczny,
  • dla \( p \neq q \) rozkład jest asymetryczny,
  • dla \( p < \frac{1}{2} \) rozkład jest prawostronnie asymetryczny,
  • dla \( p > \frac{1}{2} \) rozkład jest lewostronnie asymetryczny,

Bibliografia

Autor: Agnieszka Klozińska, Agnieszka Czyszczoń