Schemat Bernoulliego
| Schemat Bernoulliego |
|---|
| Polecane artykuły |
Schemat Bernoulliego \( N \) prób nazywamy doświadczenie polegające na \( N \) -krotnym powtórzeniu ustalonej próby Barnoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich i nie wpływa na wyniki następnych. "Jeżeli rezultatem danego zdarzenia losowego może być tylko sukses albo porażka, wówczas takie doświadczenie nazywamy doświadczeniem Bernoulliego.Liczba sukcesów w jednym doświadczeniu Bernoulliego może wynosić 1 albo 0 i nazywana jest zmienną losową zero-jedynkową."(Aczel A.P. Sounderpandian J. 2018,) Ogólnie i prosto rzecz ujmując Schemat Bernoulliego przedstawia sytuację, gdy:
- Robimy doświadczenie, w którym są możliwe tylko dwa wyniki. Jeden z nich będzie sukcesem, a drugi nazwiemy porażką.
- Doświadczenie to można powtórzyć wielokrotnie be zmiany założonych warunków.
Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Barnoulliego o \( N \) próbach sukces otrzyma się dokładnie \( k \) razy \( (0 \le k \le N) \) jest równe\[ P (k, n, p)= \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \]
gdzie\[ p>0 \], \( q>0 \) i \( p + q = 1 \)
\( k= 0,1,2,\ldots, n \)
\( p \) - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie
\( q \) - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie
Próba Bernoulliego
Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe są tylko dwa wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników nazywa się sukcesem, a drugi porażką. Pośród doświadczeń wieloetapowych na dużą uwagę zasługują te polegające na n-krotnym powtórzeniu, które są powtarzane w tych samych warunkach i są od siebie niezależne. Kończą się one tylko jednym wynikiem spośród dwóch. Najlepszymi i najprostszymi przykładami są próby Bernoulliego może być zwykły rzut monetą lub zakup losu na loterii. W pierwszym jak i drugim przypadku możliwe są tylko dwie opcje, a mianowicie orzeł lub reszka oraz los wygrany lub przegrany. Bernoulli podjął badania nad losowymi zdarzeniami. Podjął się także opracowywaniem matematycznych zagadnień, które z dowolnego przedsięwzięcia z którym idzie ryzyko pozwalają oszacować korzyści w danej sytuacji.
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego.
Jeżeli w schemacie \( N \) prób Bernoulliego liczba \( (N+1)p \):
- nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od \( k_0=(N+1)p, \)
- jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe\[ k_1=(N+1)p-1\] i \( k_2=(N+1)p \)
Wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem\[ D^2X = npq, \]
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem\[ E (X) = np, \]
Moment centralny \( \mu_3 \) zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym)podana jest wzorem\[ \mu_3 = npq (1-2p) \]
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym podana jest wzorem\[ F (x)= \sum_{k<x} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, \]
Funkcja rozkładu dwumianowego (rozkładu Bernoulliego) zależy od dwóch parametrów: liczby doświadczeń \( n \) ORAZ prawdopodobieństwa sukcesu \( p \). W zależności od wielkości wcześniejszych parametrów zmienia się kształt funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.:
- dla \( p=q= \frac{1}{2} \) rozkład dwumianowy jest symetryczny,
- dla \( p \neq q \) rozkład jest asymetryczny,
- dla \( p < \frac{1}{2} \) rozkład jest prawostronnie asymetryczny,
- dla \( p > \frac{1}{2} \) rozkład jest lewostronnie asymetryczny,
Bibliografia
- Aczel A.P. Suunderpandian J. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa, s. 176
- Koioł L.(2018), Zeszyty naukowe małopolskiej wyższej szkoły ekonomicznej w Tarnowie "Zeszyty naukowe Tarnów, nr.1
- Rudny W. (2016), Emocje w procesach decyzyjnych na rynkach finansowych, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, Katowice, nr 267
- Obra P. Turant J. (2013), Ścisła i przybliżona analiza dynamiczna konstrukcji belkowych z wyostrzeniem metod elementów skończonych, Zeszyty Naukowe WSInf nr 1
- W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewska, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997
- S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka - elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 1998
- A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 2001
Autor: Agnieszka Klozińska, Agnieszka Czyszczoń
