Kapitalizacja odsetek

Kapitalizacja odsetek
Polecane artykuły

Kapitalizacja odsetek jest to powiększanie kapitału poprzez dopisanie odsetek, które zostały wygenerowane przez ten kapitał inaczej przekształcenie odsetek w kapitał. Czas, po którym następuje dopisanie odsetek do kapitału, nazywamy okresem kapitalizacji lub okresem konwersji. (M. Dobija, E. Smaga 1995, s. 13)

Rodzaje kapitalizacji

Ze względu na moment naliczania, okres naliczania, sposób naliczania odsetek wyróżniamy kolejno:

  • Kapitalizacja z dołu – odsetki dopisywane są do kapitału na końcu okresów
  • Kapitalizacja z góry – odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresów, inaczej nazywana kapitalizacją w zaliczce
  • Kapitalizacja zgodna – okres kapitalizacji pokrywa się z okresem stopy procentowej
  • Kapitalizacja niezgodna – okres kapitalizacji nie pokrywa się z okresem stopy procentowej
  • Kapitalizacja prosta – podstawą naliczania jest kapitał początkowy, odsetki nie podlegają oprocentowaniu
  • Kapitalizacja złożona - podstawą naliczania jest kapitał początkowy i wygenerowane odsetki


Kapitalizacja prosta zgodna

Podstawą obliczania odsetek jest wyłącznie kapitał podstawowy, same odsetki nie podlegają kapitalizacji.

\(K_n = K_0(1+r*n)\)

\(K_0 \) - kapitał początkowy, wartość teraźniejsza lub obecna lub bieżąca (ang. present value)

\(K_n \) – wartość przyszła kapitału (ang. future value)

\(n\) – okres kapitalizacji

\(r\) – stopa procentowa

Oprocentowania prostego używa się w krótkoterminowych transakcjach bankowych (do jednego roku) oraz przy rachunku wekslowym. (M. Kałuszka, M. Krzeszowiec, A. Okolewski 2015, s. 109)

Kapitalizacja złożona zgodna

Kapitalizacja ta opiera się na każdorazowym doliczaniu odsetek do kapitału. Oznacza to, że podstawą naliczenia odsetek jest zarówno kapitał podstawowy jak i wcześniej wygenerowane odsetki.

  • Kapitalizacja złożona zgodna z dołu

\(K_n = K_0(1+r)^n \)

\(n=0,1,2,…\)

  • Kapitalizacja złożona zgodna z góry

\(K_n = K_0 \left (1-r \right) ^{-n}\)

\(n=1,2,…\)

Kapitalizacja niezgodna

Występuje, gdy okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji:

  • Kapitalizacja w podokresach - okres kapitalizacji jest mniejszy niż okres stopy procentowej
  • Kapitalizacja w nadokresach – okres kapitalizacji to wielokrotność okresu stopy procentowej

\(m= \frac {okres\, stopy\, procentowej}{okres\, kapitalizacji}\)

Jeśli chodzi o kapitalizację w podokresach to m należy do zbioru liczb naturalnych, a w przypadku kapitalizacji w nadokresach m ma postać ułamka, w którym mianownik to wielokrotność licznika. (E. Smaga 1999, s. 27)

Najczęściej występujące rodzaje kapitalizacji:

  • kapitalizacja roczna: m=1
  • kapitalizacja półroczna: m=2
  • kapitalizacja kwartalna: m=4
  • kapitalizacja miesięczna: m=12
  • kapitalizacja tygodniowa: m=52
  • kapitalizacja dobowa: m=360
  • kapitalizacja godzinna: m=8640
  • kapitalizacja dwuletnia: m=0,5
  • kapitalizacja czteroletnia m=0,25

W kapitalizacji niezgodnej za pomocą względnej stopy procentowej oblicza się odsetki na jeden okres kapitalizacji.

\(względna\, stopa\, procentowa=\frac {r}{m}\)

\(r \)– nominalna stopa procentowa

Oprocentowanie nominalne jest często używane przez banki, więc stopa ta jest źródłem informacji o ich ofercie. Czasami jednak zdarza się, że odsetki są naliczane według innej stopy, np. stopy względnej.

W kapitalizacji niezgodnej rachunek jest analogiczny jak w kapitalizacji zgodnej, lecz należy pamiętać, aby użyć względnej stopy procentowej i właściwą ilość okresów kapitalizacji.

  • Kapitalizacja prosta

\(K_\frac {k}{m}=K_0 (1+k \frac {r}{m}) \)

\(gdzie\ k=0,1,2,3,…\)

  • Kapitalizacja złożona z dołu

\(K_\frac {k}{m} = K_0(1+\frac {r}{m})^k \)

\(gdzie\ k=0,1,2,3,…\)

  • Kapitalizacja złożona z góry

\(K_\frac {k}{m} = K_0(1-\frac {r}{m})^{-k} \)

\(gdzie\ k=1,2,3,…\)

Kapitalizacja ciągła

Jest to graniczny przypadek kapitalizacji złożonej w podokresach, gdzie odsetki są dopisywane w sposób ciągły, a liczba podokresów m zmierza do nieskończoności.

\(K_n=K_0\, \left (e \right) ^{n*r}\)

\(gdzie\ e=2,71828182…\)

Efektywna stopa procentowa

Informuje nas o faktycznym przyroście kapitału.

  • Dla kapitalizacji w podokresach

\(r_{ef}= \left (1+\frac {r}{m}\right)^{m} -1 \)

\(r_{ef}\) - efektywna stopa procentowa

\(r\)- nominalna roczna stopa procentowa

\(m\) - liczba okresów kapitalizacji w roku.

  • Dla kapitalizacji ciągłej

\(r_{ef}=e^{r} -1 \)

\( r_{ef} \) - efektywna stopa procentowa

\(e\) - stała, która wynosi e=2,71828182…

\(r\) - nominalna roczna stopa procentowa

Wiedza na temat poziomu efektywnej stopy procentowej może się przydać podczas wyboru banku w przypadku zaciągania kredytu lub lokowania środków pieniężnych.

Kapitalizacja mieszana

To taka kapitalizacja, w której podczas oprocentowania model kapitalizacji ulega zmianie. Może to dotyczyć zarówno stopy procentowej, dlatego należy wtedy pamiętać o przeciętnej stopie procentowej. Przeciętną stopę procentową definiuje się jako stopę procentową, dla której kapitał początkowy będzie miał jednakową wartość, jaką miałby ten kapitał w przypadku ulegającej zmianie stopie procentowej.

Jako podstawową formę kapitalizacji uznajemy kapitalizację złożoną z dołu. Stosuje się ją przeważnie do krótkich okresów czasu, do rachunków, na których często zmienia się saldo (np. rachunki bieżące, rachunki a Vista).

Kapitalizacja odsetek a dyskontowanie

Procent składany umożliwia obliczenie przyszłej wartości pożyczki czy lokaty, co sprawia że odgrywa znaczącą rolę podczas podejmowania decyzji finansowych. Podczas kapitalizacji odsetek przyszła wartość pożyczki czy lokaty wzrasta z okresu na okres, co jest spowodowane rosnącą kwotą doliczanych w każdym następnym okresie sum z tytułu oprocentowania.

Zjawiskiem odwrotnym w stosunku do kapitalizacji odsetek jest dyskontowanie. Jeśli znamy wartość przyszłą kapitału, to za pomocą tego procesu możemy planowane zyski lub przyszłe płatności sprowadzić do obecnej wartości. Oznacza to, że dzięki dyskontowaniu potrafimy obliczyć jaki kapitał musimy zainwestować, aby osiągnąć zamierzone przychody. (M. Podstawka 2017, s. 71;75)


Bibliografia

  • Biernacki P., Szulec P. (2009), Pierwsze kroki na rynku kapitałowym, Cedur
  • Ciałowicz B., Ćwięczek I. (2002), Oprocentowanie lokat i strumieni płatności. Zbiór zadań, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków
  • Dobija M., Smaga E. (1995), Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa-Kraków
  • Dziworska K., Dziworski A. (1998), Podstawy matematyki finansowej, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk
  • Iwin-Garzyńska J. (2012 nr 54), Problematyka opodatkowania kosztu długu polskich przedsiębiorstw Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego nr 729 Finanse. Rynki finansowe. Ubezpieczenia
  • Kałuszka M., Krzeszowiec M., Okolewski A. (2015), Metody matematyki aktuarialnej, Politechnika Łódzka, Łódź
  • Patena W., Cwynar W. (2010), Podręcznik do bankowości Rynki, regulacje, usługi, wydanie II rozszerzone, Warszawa
  • Podgórska M., Klimkowska J. (2005), Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Podstawka M. (2017), Finanse. Instytucje, instrumenty, podmioty, rynki, regulacje, wydanie II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Smaga E. (1999), Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków

Autor: Katarzyna Gubała, Małgorzata Myjak