Model Blacka Scholesa

Model Blacka Scholesa
Polecane artykuły

"Model Blacka-Scholesa - model badający zmianę wartości portfela ze względu na zmiany cen akcji i upływ czasu. Model ten daje matematyczne uzasadnienie wartości opcji kupna (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 172)." Matematyczny model zajmujący się badaniem rynku z czasem ciągłym. Model ten opiera się na aksjomatach procesu cen, które zostały zaproponowane w 1965 roku przez Paula Samuelsona (J. Jakubowski 2011, s. 76).

Postulaty Samuelsona

P. Samuelson na nowo odkrył pracę L. Bacheliera z 1900 roku i na jej podstawie zaproponował postulaty, które proces cen \(S_t\) powinien spełniać:

  1. Ceny są plusowe, czyli \(\forall_t\geqslant0\), \(S_t>0\), a \(S_0\) jest stałą
  2. Procentowe wahanie cen akcji nie jest zależne od ceny obecnej jak i od cen w przeszłości, czyli \(\forall_{t, h}\geqslant0\) \(\dfrac{S_{t+h}}{S_t}\) jest niezależna od \(σ(S_u: u\leqslant t)\)
  3. Zmiana ta (a precyzyjniej rozkład zmiany) jest zależna tylko od długości okresu czasu, na którym jest rozpatrywana, jednak nie jest istotne, od której chwili ją liczymy, tj. \(\forall_{t, h}\geqslant0\), \(\dfrac{S_{t+h}}{S_t}\backsim\dfrac{S_h}{S_0}\)
  4. Proces \(S_t\) ma nieprzerwane (ciągłe) trajektorie (J. Jakubowski 2011, s. 76).

Przyjęte założenia do modelu

Prawidłowość wskazań modelu jest zależna od tez, które powinien spełniać. F.Black i M. Scholes tworząc model wyceny opcji kierowali się następującymi założeniami:

  1. Ceny akcji reagują zgodnie z rozkładem logarytmiczno-normalnym, a parametry tego rozkładu są stałe,
  2. Całość kosztów transakcji jak i podatki są równe zero a akcje, które są przedmiotem opcji muszą być doskonale podzielone,
  3. W cyklu ważności opcji, nie przynoszą dywidend akcje bazowe dla danej opcji,
  4. Nie ma takiej możliwości, aby wystąpił pozbawiony ryzyka arbitraż,
  5. Występuje ciągły obrót papierami wartościowymi,
  6. Uczestnicy rynku mają prawo pożyczać i inwestować środki zgodnie z tą samą wolną od ryzyka stopą procentową,
  7. Krótkoterminowa stopa procentowa, wolna od ryzyka jest stała (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 171),
  8. Rynek funkcjonuje w sposób ciągły,
  9. Za zajmowanie krótkiej pozycji nie ma kary,
  10. Cena sprzedaży akcji jest identyczna jak cena kupna (dla wszystkich instrumentów) (A. Weron, R. Weron 2009, s. 183).

Klasyczny model Blacka-Scholesa

Zakładamy, że (\(Ω\), \(\mathcal{F}\), P) jest przestrzenią probabilistyczną z filtracją \(\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in[0, T]}\). Mamy na niej zadany proces Wienera.

Naszym założeniem jest sytuacja w której mamy do czynienia z rynkiem idealnym. Posiadamy na nim jeden papier ryzykowny - akcje, które nie płacą dywidend, o cenie podanej wzorem \(dS_t=μS_tdt+σS_tdW_t,\qquadσ>0,μ\in\mathbb{R}\).

Posiadamy również na tym rynku rachunek bankowy o niezmiennej stopie procentowej \(r\geqslant0\) w pełnym okresie handlu [0, T] i nieustannej kapitalizacji, tj. przebieg wartości jednostki pieniężnej jest podany równaniem \(dB_t=rB_tdt,\qquad B_0=1\)

zatem \(B_t=e^{rt}\)

Zakładając, że rynek jest idealny wiemy, że wszyscy mają identyczną wiedzę, a informacje w naszym modelu są inkasowane wyłącznie dzięki przyglądaniu się procesowi cen S to o σ-ciele \(\mathcal{F}_t\) analizowanym jako wiedza zdobyta do chwili t zakładamy, że '\(\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_t^S\).

Ponieważ jedynym wynikiem wzoru \(dS_t=μS_tdt+σS_tdW_t\)

jest \(S_t=S_0 exp (σW_t+(μ-\frac{1}{2}σ^2)t)\) więc \(\mathcal{F}_t^W=\mathcal{F}_t^S\).

Reasumując zakładamy, że filtracja \(\mathcal{F}_t\) jest dopełnioną filtracją procesu Wienera, tj. \(\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_t^W\) i \(\mathcal{F}=\mathcal{F}_T\).

Ukazany model jest dość dużym uproszczeniem rzeczywistości. Jego zaletą są łatwe założenia zrozumiałe dla większości. Z tego właśnie powodu służy on jako początkowe przybliżenie (J. Jakubowski 2011, s. 77-78).

Model Blacka-Scholesa a model dwumianowy

Logika tego modelu jest zbliżona do modelu dwumianowego. "Punktem wyjścia jest również portfel pozbawiony ryzyka, który składa się z opcji i akcji bazowej dla tej opcji. Jeżeli przyjmuje się założenie, że arbitraż jest niemożliwy, to stopa zwrotu z takiego portfela jest równa stopie procentowej wolnej od ryzyka. Najważniejszą różnicą między modelem dwumianowym i modelem Blacka-Scholesa jest fakt, że w modelu Blacka-Scholesa zmiany cen instrumentu podstawowego są ciągłe, natomiast w modelu dwumianowym zmiany cen akcji zachodzą w sposób skokowy (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 171)."

Wartość opcji ustalona w oparciu o model dwumianowy będzie się przybliżać do wartości opcji określonej za pomocą modelu Blacka-Scholesa wraz z powiększaniem liczby okresów w modelu drzew dwumianowych (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 174).

Wzory Blacka-Scholesa

Wprowadzenie równań modelu Blacka-Scholesa polega na złożonych przekształceniach matematycznych opartych na tezie, że wahania kursu akcji określane są procesem stochastycznym - "geometryczny proces Wienera". Wzory Blacka-Scholesa przy wymienionych wcześniej założeniach wyglądają następująco

\(C=S\cdot N (d_1)-X\cdot e^{-r\cdot T}\cdot N (d_2)\)

\(P=X\cdot e^{-r\cdot T}\cdot N (-d_2)-S\cdot N (-d_1)\)

\(d_1=\dfrac{ln\left (\frac{S}{X} \right)+(r+\tfrac{δ^2}{2})\cdot T}{δ\cdot\sqrt{T}}\)

\(d_2=\dfrac{ln\left (\frac{S}{X} \right)+(r-\tfrac{δ^2}{2})\cdot T}{δ\cdot\sqrt{T}}=d_1-δ\cdot\sqrt{T}\)

gdzie:

C - wartość europejskiej opcji kupna,
P - wartość europejskiej opcji sprzedaży,
S - bieżąca cena akcji,
X - cena wykonania opcji,
r - stopa procentowa wolna od ryzyka,
T - czas do terminu wygaśnięcia opcji wyrażona w latach,
δ - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji,
N (d) - wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu d (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 172).

Przykład

POLECENIE

"Rozpatrzmy przykład europejskiej opcji kupna akcji o następujących parametrach: długość terminu do wygaśnięcia 6 miesięcy (T=0,5), cena wykonania 30 zł (X=30), aktualna cena 25 zł (S=25), stopa wolna od ryzyka 12% (r=12), odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji 20% (\(δ=0,2\)), w czasie ważności opcji nie będzie wypłacana dywidenda.

ROZWIĄZANIE

\(d_1=\dfrac{ln\left (\frac{25}{30} \right)+(0,12+\tfrac{0,2^2}{2})\cdot0,5}{0,2\cdot\sqrt{0,5}}≈\dfrac{-0,1123}{0,1414}≈-0,7942\)

\(d_2=-0,7942-0,2\cdot\sqrt{0,5}≈-0,9356\)

\(N (d_1)≈0,22\)

\(N (d_2)≈0,18\)

\(C=25\cdot0,22-30\cdot e^{-0,12\cdot0,5}\cdot0,18≈0,41\)

INTERPRETACJA

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że wartość opcji jest równa 0,41 zł. Można wykazać, że wartość \(N (d_1)\) jest równa współczynnikowi delta, co jest dodatkową zaletą korzystania z modelu Blacka-Scholesa.

Gdyby rozpatrywana opcja była opcją sprzedaży, wówczas na podstawie wzoru \(P=X\cdot e^{-r\cdot T}\cdot N (-d_2)-S\cdot N (-d_1)\) jej wartość jest równa 3,66 zł.

\(P=30\cdot e^{-0,12\cdot0,5}\cdot N (0,9356)-25\cdot N (0,7942)≈23,16-19,5=3,66\) (W. Tarczyński, M. Zwolankowski 1999, s. 173-174)."

Bibliografia

Autor: Aleksandra Galica