Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie $EX$. W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości $x_{i}$ na zbiorach $A_{i}=\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x_{i}\}$.

Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej $EX$ dla zmiennej losowej $X$, której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej $X$, czyli $\int \limits _{\Omega }|X|\,dP<\infty$.

Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to $EX=\int \limits _{\Omega }X\,dP$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$, w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa $X$ ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to $EX=\sum \limits _{i\in I}x_{i}P(X=x_{i})$. Dla liczb $x_{i}$, którym odpowiadają wagi $p_{i},$ podany szereg jest średnią ważoną.

Dla zmiennej losowej $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, która przyjmuje wartości w $R^{n}$ definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor $EX=(EX_{1},EX_{2},...,EX_{n})$, jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.

Własności wartości oczekiwanej

Niech dane będą wartości oczekiwane $EX$ i $EY$ dla zmiennych losowych $X$ i $Y$, wtedy zachodzą następujące własności :

1. gdy $a$ jest stałą to $E(a)=a$,
2. gdy $a$ jest stałą to $E(aX)=aEX$,
3. gdy $a,b$ są stałymi to $E(aX+b)=aEX+b$,
4. jeżeli istnieje wartość ocekiwana $EX,EY$ to istnieje także $EX$ i zachodzi równość $E(X+Y)=EX+EY$,
5. gdy $X\geqslant 0$ zachodzi $EX\geqslant 0$,
6. $|EX|\geqslant E|X|$,
7. gdy $X,Y$ są niezależne to $E(XY)=EX\cdot EY$.

W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności :

1. (lemat Fatou) jeśli $X_{n}\geqslant 0$ to, $E(\liminf _{n\to \infty }X_{n})\leqslant \liminf _{n\to \infty }EX_{n}$,
2. gdy $X_{n}$ jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy $E\lim _{n\to \infty }X_{n}=lim_{n\to \infty }EX_{n}$,
3. gdy $Z$ jest całkowalną zmienną losową i $X_{n}$ jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi $|X_{n}|\leqslant Z$, wtedy $E\lim _{n\to \infty }X_{n}=lim_{n\to \infty }EX_{n}$.

W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów :

• $EX^{n}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{n}\cdot f(x)dx$.
• $EX^{n}=x_{1}^{n}p_{1}+x_{2}^{n}p_{2}+\dots =\sum \limits _{k}x_{k}^{n}p_{k}$

Zastosowanie wartości oczekiwanej

Dla zmiennej losowej $X$ jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej $X$ i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych :

• wriancja zmiennej losowej $X:D^{2}=E(X-EX)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2}$,
• kowariancja zmiennych losowych $X,Y:Cov(X,Y)=E((X-EX)(Y-EY))=E(XY)-(EX)(EY)$.

Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.

• Wykorzystanie wartości oczekiwanej w obliczaniu wariancji, odchylenia standardowego i kowariancji. Wartość oczekiwana odgrywa kluczową rolę w obliczaniu miar zmienności takich jak wariancja, odchylenie standardowe i kowariancja. Wariancja mierzy, jak bardzo dane zmienne różnią się od ich średniej wartości. Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji i służy do określania rozrzutu danych. Kowariancja natomiast mierzy stopień zależności między dwiema zmiennymi losowymi. Wszystkie te miary są obliczane na podstawie wartości oczekiwanej.
• Zastosowanie wartości oczekiwanej w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów. Wartość oczekiwana ma szerokie zastosowanie w meteorologii do opisywania parametrów wyników pomiarów. Na przykład, można jej użyć do obliczenia średniej temperatury w danym okresie czasu na podstawie pomiarów temperatury wykonanych w różnych dniach. Wartość oczekiwana umożliwia również określenie średniego opadu deszczu na podstawie danych pomiarowych.
• Wykorzystanie wartości oczekiwanej w analizie danych i prognozowaniu. W analizie danych i prognozowaniu, wartość oczekiwana jest często wykorzystywana do określania przyszłych trendów na podstawie dostępnych danych historycznych. Na przykład, można jej użyć do prognozowania przyszłych cen akcji na podstawie danych dotyczących ich wcześniejszych wartości. Wartość oczekiwana umożliwia również określenie prawdopodobieństwa wystąpienia określonego zdarzenia na podstawie danych statystycznych.
• Zastosowanie wartości oczekiwanej w ekonomii i finansach. W ekonomii i finansach wartość oczekiwana jest często używana do oceny inwestycji i projektów. Na przykład, można jej użyć do obliczenia oczekiwanej stopy zwrotu z inwestycji lub oczekiwanej wartości zysku z nowego projektu. Wartość oczekiwana pozwala również na porównanie różnych możliwości inwestycyjnych i wybór tej, która ma największą przewidywaną wartość.
• Wykorzystanie wartości oczekiwanej w teorii gier i podejmowaniu decyzji. W teorii gier i podejmowaniu decyzji, wartość oczekiwana jest kluczowym narzędziem do oceny strategii. Pozwala ona na oszacowanie przewidywanych korzyści i strat związanych z różnymi decyzjami. Na podstawie wartości oczekiwanej można dokonać wyboru strategii o największej oczekiwanej wartości zysku lub minimalizującej oczekiwaną wartość straty.

Zastosowanie wartości oczekiwanej w różnych dziedzinach zarządzania

Wartość oczekiwana, będąca jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa i statystyki, znalazła zastosowanie w wielu dziedzinach zarządzania. Jest to wskaźnik, który pozwala ocenić przyszły wynik na podstawie dostępnych danych i ich prawdopodobieństwa.

Zastosowanie wartości oczekiwanej w analizie ryzyka i zarządzaniu ryzykiem

Analiza ryzyka jest nieodłącznym elementem zarządzania, ponieważ każda decyzja podejmowana przez firmę niesie za sobą pewne ryzyko. Wartość oczekiwana jest wykorzystywana w analizie ryzyka do oszacowania przyszłych wyników finansowych lub innych wskaźników na podstawie prawdopodobieństwa wystąpienia różnych scenariuszy. Dzięki temu możemy ocenić, jakie ryzyko wiąże się z podejmowaną decyzją i jakie są potencjalne konsekwencje.

Zarządzanie ryzykiem polega na podejmowaniu świadomych decyzji mających na celu minimalizację ryzyka lub maksymalizację korzyści. Wartość oczekiwana umożliwia ocenę wyników finansowych w kontekście różnych scenariuszy ryzyka. Na podstawie tych oszacowań można podjąć odpowiednie działania, takie jak zabezpieczenie się przed ryzykiem, dywersyfikacja portfela lub ubezpieczenie.

Wykorzystanie wartości oczekiwanej w ekonometrii i badaniu zależności między zmiennymi

Ekonometria to dziedzina nauki, która zajmuje się analizą i badaniem zależności między różnymi zmiennymi. Wartość oczekiwana jest jednym z narzędzi wykorzystywanych w ekonometrii do oszacowania przyszłego wyniku na podstawie danych historycznych.

W analizie zależności między zmiennymi często wykorzystuje się model regresji, który pozwala określić, jak jedna zmienna wpływa na drugą. Wartość oczekiwana może być wykorzystana do oszacowania wartości prognozowanej zmiennej na podstawie wartości innych zmiennych.

Przykładowo, w przypadku badania wpływu ceny produktu na ilość sprzedanych egzemplarzy, możemy wykorzystać wartość oczekiwaną, aby oszacować przyszłą sprzedaż na podstawie danych historycznych o cenach i ilości sprzedaży.

Analiza kosztów i korzyści oraz ocena jakości produktów i usług na podstawie wartości oczekiwanej

Analiza kosztów i korzyści to metoda oceny opłacalności danego przedsięwzięcia. Wartość oczekiwana może być użyta do oszacowania przyszłych kosztów i korzyści na podstawie prawdopodobieństwa ich wystąpienia.

W przypadku oceny jakości produktów i usług wartość oczekiwana może być użyta do oszacowania przyszłej satysfakcji klienta na podstawie różnych czynników, takich jak jakość produktu, obsługa klienta, cena itp.

Dzięki zastosowaniu wartości oczekiwanej można dokonać racjonalnych decyzji dotyczących inwestycji, wprowadzania nowych produktów lub usług, a także ocenić, czy dany przedsięwzięcie przyniesie oczekiwane korzyści.

Zastosowanie wartości oczekiwanej w analizie ryzyka inwestycyjnego i optymalizacji portfela

Analiza ryzyka inwestycyjnego opiera się na ocenie przyszłych wyników finansowych inwestycji na podstawie prawdopodobieństwa wystąpienia różnych scenariuszy. Wartość oczekiwana jest podstawowym narzędziem, które pozwala na oszacowanie przyszłych zwrotów z inwestycji.

Optymalizacja portfela polega na dobieraniu odpowiednich aktywów w celu osiągnięcia maksymalnych korzyści przy minimalnym ryzyku. Wartość oczekiwana jest wykorzystywana do oszacowania przyszłych zwrotów z różnych aktywów oraz ich prawdopodobieństwa wystąpienia. Na tej podstawie można dokonać optymalnego doboru aktywów w portfelu inwestycyjnym.

Zastosowanie wartości oczekiwanej w analizie ryzyka inwestycyjnego i optymalizacji portfela pozwala inwestorom na dokonywanie świadomych decyzji inwestycyjnych, minimalizację ryzyka oraz maksymalizację zwrotów z inwestycji.

Wartość oczekiwana stanowi niezwykle przydatne narzędzie w analizie i podejmowaniu decyzji w różnych dziedzinach zarządzania. Jej wykorzystanie pozwala na ocenę przyszłych wyników, oszacowanie ryzyka i podejmowanie racjonalnych decyzji. Dlatego też warto zapoznać się z tym pojęciem i umiejętnie je wykorzystywać w praktyce zarządzania.

Wartość oczekiwana — artykuły polecane

Zmienna losowa — Estymator obciążony — Wariancja — Kwartyl — Analiza regresji — Interpolacja — Regresja liniowa — Metody statystyczne — Rozkład częstości — Wskaźniki dynamiki

Bibliografia

• Feller W. (2008), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Jakubowski J. (2010), Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Script, Warszawa
• Kordecki W. (2012), Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia, Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Muciek A. (2012), Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
• Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer, Warszawa
• Wesołowski J., Tarczyński J. (2016), Podstawy matematyczne technik imputacyjnych, Wiadomości Statystyczne

Autor: Mariola Klaś