Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana
Polecane artykuły

Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie \( EX \). W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa [1] autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości \( x_{i} \) na zbiorach \(A_{i} = \{\omega \in \Omega : X(\omega)=x_{i} \} \) .

Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej \(EX\) dla zmiennej losowej \( X \) , której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej \(X \), czyli \( \int\limits_{\Omega} |X|\, dP < \infty \) .

Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to \( EX = \int\limits_{\Omega} X \, dP \) jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej \( X \), w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa \( X \) ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to \( EX = \sum \limits _{i \in I} x_{i} P(X=x_{i})\) . Dla liczb \( x_i \), którym odpowiadają wagi \( p_i, \) podany szereg jest średnią ważoną.

Dla zmiennej losowej \( X=(X_1, X_2, …, X_n) \), która przyjmuje wartości w \( R^{n} \) definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor \(EX = (EX_1, EX_2, …, EX_n) \), jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.

Własności wartości oczekiwanej

Niech dane będą wartości oczekiwane \( EX \) i \( EY \) dla zmiennych losowych \( X \) i \( Y \), wtedy zachodzą następujące własności [2] :

  1. gdy \( a \) jest stałą to \( E(a) = a \),
  2. gdy \( a \) jest stałą to \( E(aX) = aEX \),
  3. gdy \( a, b \) są stałymi to \( E(aX + b) = aEX + b \),
  4. jeżeli istnieje wartość ocekiwana \(EX , EY \) to istnieje także \( EX \) i zachodzi równość \( E(X+Y) = EX + EY \) ,
  5. gdy \( X \geqslant 0 \) zachodzi \( EX \geqslant 0 \),
  6. \(|EX| \geqslant E|X| \),
  7. gdy \( X, Y \) są niezależne to \( E(XY) = EX \cdot EY \).

W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności [3]:

  1. (lemat Fatou) jeśli \( X_{n} \geqslant 0 \) to, \( E(\liminf_{n \to \infty} X_{n}) \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_{n} \) ,
  2. gdy \( X_{n} \) jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy \( E \lim_{n \to \infty} X_{n} = lim_{n \to \infty} EX_{n} \) ,
  3. gdy \( Z \) jest całkowalną zmienną losową i \( X_{n} \) jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi \( |X_{n}| \leqslant Z \) , wtedy \( E \lim_{n \to \infty} X_{n} = lim_{n \to \infty} EX_{n} \).

W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów [4] :

  • \( EX^{n} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{n} \cdot f(x) dx \).
  • \( EX^{n} = x_{1}^{n} p_{1} + x_{2}^{n} p_{2} + \dots = \sum\limits_{k} x_{k}^{n} p_{k} \)

Zastosowanie wartości oczekiwanej

Dla zmiennej losowej \( X \) jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej \( X \) i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych [5]:

  • wriancja zmiennej losowej \( X: D^{2} = E(X-EX)^{2} = EX^{2} - (EX)^{2} \),
  • kowariancja zmiennych losowych \( X, Y: Cov(X, Y)= E((X−EX)(Y−EY))= E(XY)−(EX)(EY) \).

Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.

Przypisy

  1. J. Jakubowskiego i R. Sztencla (2001) s.79
  2. W. Krysicki (1999) s.66 i J. Jakubowski (2001) s.80
  3. J. Jakubowski (2001) s.80
  4. W. Kordecki (2012) s.11
  5. W. Kordecki (2012) s.11,12

Bibliografia

Autor: Mariola Klaś