Rozkład częstości

Rozkłady częstości związane są z rozkładami empirycznymi zmiennych, lub szeregami rozdzielczymi punktowymi lub klasowymi.

Rozkład empiryczny jest to przyporządkowanie kolejnym wartościom $x_{i}$ zmiennej $X$ odpowiadających im liczebności $n_{i}$.

Natomiast rozkładem częstości jest przyporządkowanie wartościom $x_{i}$ badanej zmiennej $X$ odpowiadających im częstości. Częstość dla wartości $x_{i}$ definiuje się jako stosunek liczebności $n_{i}$ z jaką występuję wartość $x_{i}$ w zbiorze danych do ilości wszystkich danych w próbie. Rozkład odzwierciedla więc strukturę badanej zbiorowości z punktu widzenia określonej cechy

Znać rozkład częstości danej cechy to znać jej przedziały klasowe (wartości) i częstości absolutne lub względne (także procentowe) poszczególnych przedziałów klasowych (wartości).

Rozkłady empiryczne są ustalane na podstawie konkretnych obserwacji, a umiejętność odróżnienia różnych ich typów jest nieodzownym warunkiem prawidłowej analizy statystycznej.

Od ich rodzaju zależy bowiem dobór odpowiednich charakterystyk służących do opisu zbiorowości.

TL;DR

Rozkład częstości to przyporządkowanie wartościom zmiennej odpowiadających im częstości. Jest używany do analizy statystycznej i opisu zbiorowości. Rozkład częstości można przedstawić za pomocą tablic, histogramów lub wzorów matematycznych. Parametry rozkładu częstości to średnia wartość i wariancja. W przypadku dwuwymiarowego rozkładu częstości analizuje się dwie zmienne jednocześnie. Każdemu rozkładowi częstości odpowiada dystrybuanta.

Jednowymiarowy rozkład częstości

Rozkład częstości opracowywany jest dla oceny zmienności wyników uzyskanych w próbie losowej. Zbiór złożony z $N$ obserwacji dokonanych na zmiennej losowej $X$ można uporządkować i przedstawić w formie rozkładu częstości.

Przypuśćmy, że wśród obserwacji znajduje się Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wikimedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle I\leq N} różnych wartości zmiennej losowej $X$.

Rozkład częstości $f(x)$ jest przyporządkowaniem każdej wartości $x_{i}$ (i=1,....., I) częstości względnej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wikimedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f(x_{i})} , z którą wartość Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_i} występuje w zbiorze obserwacji.

Częstość względna jest wyznaczona jako iloraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \frac{n_i}{N}} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n_i} to ilość wystąpień wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_i} w zbiorze obserwacji zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} .

Zauważmy, że Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0 \le f (x) \le 1} , dla każdej wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} , ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x)} jest częstością względną;

jeżeli natomiast zsumujemy częstości względne wszystkich wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} , to

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sum_{i=1}^I f (x_i)= 1}

Rozkład częstości jest zatem rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} , gdyż jest określony na zbiorze wartości tej zmiennej oraz przypisuje prawdopodobieństwa wartościom tej zmiennej.

Rozkład częstości jest zaliczany do grupy dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, gdyż określony jest na zbiorze przeliczalnym. Funkcja zdefiniowana powyżej nazywana jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub w tym konkretnym przypadku z uwagi na to, że rozkład częstości jest rozkładem dyskretnym - funkcją masy prawdopodobieństwa

Rozkład częstości można przedstawić w postaci tablicy, graficznie (w postaci wykresu) lub za pomocą wzorów matematycznych.

Jedną z metod ilustracji rozkładu zmiennej jest budowa histogramu.

Jeżeli w zbiorze obserwacji występuje wiele różnych wartości zmiennej to wygodnie jest przedstawić rozkład częstości dokonując grupowania obserwacji.

Wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} należy pogrupować w przedziały wykluczające się wzajemnie i pokrywające cały zbiór zmienności Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} , a każdemu przedziałowi przyporządkować częstość względną, z jaką wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} pojawiają się w danym przedziale. Takie grupowanie obserwacji nazywamy szeregiem rozdzielczym przedziałowym

Parametry rozkładu częstości

Najważniejsze parametry jednowymiarowego rozkład częstości to:

1. średnia wartość zmiennej - która mierzy tendencję centralną
2. wariancja - która mierzy odchylenie od średniej

Jeżeli rozkład częstości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} oznaczymy przez Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x)} to średnia wartość zmiennej wyniesie:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m=\sum_{i=i}^I x_if (x_i)}

a wariancja zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} jest równa:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v=\sum_{i=1}^I\left (x_i-m)^2\right)f (x_i)}

Dwuwymiarowy rozkład częstości

Zbiór złożony z Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle N} łącznych obserwacji na dwóch zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Y} można uporządkować i przedstawić w postaci łącznego rozkładu częstości.

Przypuśćmy, że wśród obserwacji znajduje się Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle I \le N} różnych wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle J \le N} różnych wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Y} .

Łączny rozkład częstości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x, y)} jest przyporządkowaniem każdej parze wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (x_i, y_i)} Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (i=1,....., I, j=1....., J)} częstość względnej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x_i, y_i)} , z którą ta para wartości występuje w zbiorze obserwacji.

Jeżeli rozważamy łączny rozkład częstości, to jednowymiarowy rozkład częstości każdej ze zmiennych nazywamy rozkładem brzegowym. Tak więc przy danym łącznym rozkładzie częstości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x, y)} , brzegowy rozkład częstości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} , Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x)} , przyporządkowuje każdej wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_i} częstość względną Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x_i)} występowania tej wartości bez względu na to, jaką wartość przyjmie zmienna Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Y} ; podobnie brzegowy rozkład częstości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Y} .

Dystrybuanta rozkładu częstości

Każdemu z rozkładów częstości, które rozpatrywaliśmy, odpowiada dystrybuanta. Jednowymiarowa dystrybuanta Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle F (x)} rozkładu częstości przyporządkowuje każdej wartości Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} sumę częstości względnych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f (x_i)} , z jakimi występują w zbiorze obserwacji wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X} mniejsze lub równe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} .

Dystrybuantę otrzymujemy więc dodając częstości:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle F (x)= \sum_{x_i \le x}f (x_i).}

Rozkład częstości — artykuły polecane

Wnioskowanie statystyczne — Średnia — Kwartyl — Test zgodności chi-kwadrat — Zmienna losowa — Rozkład normalny — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Percentyl — ANOVA

Bibliografia

• Goldberger A. (1972), Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa
• Hellwig Z. (1998), Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer, Warszawa
• Sobczyk M. (2007), Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Starzyńska W. (2006), Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

Autor: Nowacka Bernadeta, Angelika Jurek