Prawo wielkich liczb

Prawo wielkich liczb - seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.

Prawa Bernoulliego

W książce Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:

• Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Niech $S_{n}$ oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego $n$ prób, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe $p$, to dla każdego $\varepsilon >0$ $\lim _{n\to \infty }P(|{\frac {S_{n}}{n}}-p|\leqslant \varepsilon )=1$.

• Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli $S_{n}$ oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego $n$ prób, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe $p$. Wtedy $P$-prawie wszędzie ${\frac {S_{n}}{n}}\to p$, gdy $n\to \infty$. Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.

Prawa Markowa

Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń :

• mówimy, że ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ jest zbieżny do $C$ według prawdopodobieństwa, gdy dla każdego $\varepsilon >0$ zachodzi: $P(|{\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}-C|>\varepsilon )\to 0{\textit {dla}}n\to +\infty ,$
• mówimy, że ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ jest zbieżny do $C$ z prawdopodobieństwem jeden (prawie na pewno), gdy:

$P\{\omega ;{\frac {X_{1}(\omega )+X_{2}(\omega )+\dots +X_{n}(\omega )}{n}}\to C\}=1.$

1. Ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ spełnia słabe prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała $C$ taka, że według prawdopodobieństwa: ${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to _{p}C{\textit {dla}}n\to +\infty .$
2. Ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ spełnia mocne prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała $C$ taka, że: ${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to C{\textit {dla}}P{\textit {-prawienapewno}}.$

Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi

MPWL, czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida :

• Ciąg $X_{1},X_{2},\dots$ oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli $E|X|<+\infty$ to:

${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to EX_{1},{\textit {gdzie}}P{\textit {-prawiewszedzie.}}$

• To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że $P(\limsup _{n}{\frac {|X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}|}{n}}<+\infty )>0$ wynika: $E|X|<+\infty {\textit {isredniesazbiezneprawiewszedziedo}}EX_{1}.$

Zastosowanie prawa wielkich liczb

Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich :

• metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
• wyliczanie dystrybuanty empirycznej.
• dowodzenie twierdzeń dotyczących teorii liczb.
• w statystyce. Zgodnie z prawem wielkich liczb wnioski o konkretnej grupie można wyciągnąć tylko na podstawie odpowiednio dużej próby. Im próba jest większa tym bardziej wynik powinien zbliżać się do wartości przeciętnej.

Prawa Markowa

Opis związku z prawami wielkich liczb

Prawa Markowa są jednym z kluczowych narzędzi w teorii procesów stochastycznych i mają głębokie związki z prawami wielkich liczb. Pozwalają one na opis zachowania procesów stochastycznych, których przyszłe wartości zależą tylko od ich bieżącego stanu, a nie od całej historii zdarzeń, które miały miejsce wcześniej.

Prawo Markowa jest oparte na założeniu, że przyszłe wartości procesu stochastycznego zależą tylko od jego bieżącego stanu i nie są zależne od stanów przeszłych. Innymi słowy, jeśli znamy bieżący stan procesu, nie jest konieczne analizowanie całej historii zdarzeń, aby przewidzieć jego przyszłe wartości. To założenie jest niezwykle przydatne w praktyce, ponieważ znacznie upraszcza analizę procesów stochastycznych.

Jeśli proces stochastyczny spełnia warunek Markowa, to istnieje wiele ważnych wyników dotyczących jego zachowania. Jednym z najważniejszych jest Prawo Wielkich Liczb, które mówi, że średnia próbka z procesu Markowa zbiega się prawie na pewno do wartości oczekiwanej. Oznacza to, że jeśli mamy długi ciąg próbek z procesu Markowa, to średnia tych próbek będzie coraz bliższa wartości oczekiwanej im więcej próbek będziemy brać pod uwagę.

Prawa Markowa są więc nie tylko narzędziem matematycznym do opisu procesów stochastycznych, ale także stanowią podstawę dla wielu ważnych wyników, takich jak Prawo Wielkich Liczb, które mają zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w zarządzaniu i ekonomii.

Zbieżność ciągów zmiennych losowych

Prawa Markowa są również związane z pojęciem zbieżności ciągów zmiennych losowych. Zbieżność ciągu zmiennych losowych oznacza, że dla dostatecznie dużych próbek z tego ciągu ich wartości są bliskie pewnej konkretnej wartości. W przypadku procesów Markowa, zbieżność taka jest ściśle związana z Prawem Wielkich Liczb.

Jednym z najważniejszych wyników z teorii praw Markowa jest Centralne Twierdzenie Graniczne. Mówi ono, że suma dużej liczby niezależnych i identycznie rozkładających się zmiennych losowych, które spełniają warunek Markowa, zbiega do rozkładu normalnego, niezależnie od rozkładu tych zmiennych. Jest to bardzo ważne stwierdzenie, ponieważ oznacza, że jeśli mamy długi ciąg niezależnych próbek z procesu Markowa, to ich suma będzie miała rozkład zbliżony do rozkładu normalnego, niezależnie od tego, jakie jest rozkład poszczególnych próbek.

To odkrycie ma duże znaczenie w praktyce, ponieważ rozkład normalny jest powszechnie stosowany do modelowania wielu zjawisk w ekonomii i finansach. Dzięki temu, że Prawa Markowa są związane z Centralnym Twierdzeniem Granicznym, możemy stosować te narzędzia do analizy i prognozowania różnych procesów ekonomicznych i finansowych, a także do konstrukcji efektywnych strategii inwestycyjnych.

Przykłady zastosowania w praktyce

Prawa Markowa mają szerokie zastosowanie w praktyce zarządzania i ekonomii. Jednym z przykładów jest analiza portfeli inwestycyjnych. Procesy stochastyczne opisane przez prawa Markowa mogą być wykorzystane do modelowania ruchów cen na rynku finansowym i do konstrukcji optymalnych portfeli inwestycyjnych. Dzięki temu, że Prawa Markowa pozwalają na prognozowanie przyszłych wartości procesów stochastycznych, mogą być wykorzystane do podejmowania decyzji inwestycyjnych i zarządzania ryzykiem.

Innym przykładem zastosowania Praw Markowa jest analiza procesów produkcyjnych. Procesy Markowa mogą pomóc w modelowaniu i optymalizacji procesów produkcyjnych, takich jak zarządzanie zapasami, planowanie produkcji czy prognozowanie popytu. Dzięki Prawom Markowa możemy prognozować przyszłe stany procesów produkcyjnych na podstawie ich bieżącego stanu, co pozwala na skuteczniejsze zarządzanie produkcją i redukcję kosztów.

Ważne jest zrozumienie, że Prawa Markowa nie są jedynie abstrakcyjnymi pojęciami matematycznymi, ale mają realne zastosowanie w różnych dziedzinach zarządzania i ekonomii. Ich związki z Prawami Wielkich Liczb i Centralnym Twierdzeniem Granicznym czynią je niezwykle przydatnymi narzędziami do analizy i prognozowania procesów stochastycznych, co ma duże znaczenie dla podejmowania racjonalnych decyzji i efektywnego zarządzania.

Zastosowanie prawa wielkich liczb w analizie danych

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo to technika używana do symulacji zjawisk probabilistycznych. Polega ona na generowaniu dużej liczby losowych próbek, na podstawie których można oszacować różne parametry i rozkłady prawdopodobieństwa. Prawo wielkich liczb jest kluczowe dla metody Monte Carlo, ponieważ gwarantuje, że im większa liczba próbek, tym dokładniejsze będą nasze szacunki.

Dzięki prawu wielkich liczb możemy być pewni, że jeśli generujemy wystarczającą liczbę próbek, to średnia wartość próbek będzie bliska wartości oczekiwanej. Dlatego właśnie metoda Monte Carlo jest tak skuteczna w analizie danych - pozwala nam generować losowe próbki, na podstawie których możemy wnioskować o parametrach populacji.

Obliczanie dystrybuanty empirycznej

Dystrybuanta empiryczna to funkcja, która opisuje rozkład prawdopodobieństwa na podstawie danych empirycznych. Jest to bardzo przydatne narzędzie w analizie danych, ponieważ pozwala nam oszacować, jak często występują różne wartości w zbiorze danych.

Prawo wielkich liczb jest kluczowe przy obliczaniu dystrybuanty empirycznej. Im większa liczba próbek, tym bardziej dokładna będzie nasza estymacja rozkładu prawdopodobieństwa. Dzięki temu możemy lepiej zrozumieć, jakie są prawdopodobieństwa różnych zdarzeń w naszych danych i jakie wartości mogą się najczęściej pojawiać.

Dowodzenie twierdzeń teorii liczb

Twierdzenia teorii liczb są jednym z najważniejszych obszarów matematyki, które zajmują się badaniem własności liczb całkowitych. Prawo wielkich liczb ma również zastosowanie w dowodzeniu różnych twierdzeń w tej dziedzinie.

Dzięki prawu wielkich liczb możemy udowodnić, że pewne zależności liczb są prawdziwe w nieskończoności. Na przykład, możemy udowodnić, że średnia liczba dzielników liczby całkowitej zbliża się do nieskończoności, gdy liczba ta rośnie. Prawo wielkich liczb umożliwia nam potwierdzenie tych twierdzeń na podstawie dużej liczby próbek.

Znaczenie dla statystyki

Prawo wielkich liczb jest jednym z podstawowych założeń w statystyce. Jest niezbędne do wielu metod estymacji parametrów populacji, testowania hipotez i analizy danych.

Dzięki prawu wielkich liczb możemy ocenić, jak dobrze nasze estymacje odpowiadają rzeczywistości. Im większa liczba próbek, tym bardziej dokładne będą nasze szacunki. Dlatego właśnie prawo wielkich liczb jest tak ważne w statystyce - pozwala nam uczynić nasze wnioski bardziej wiarygodnymi i pewnymi.

Prawo wielkich liczb — artykuły polecane

Błąd bezwzględny — Błąd względny — Współczynnik determinacji — ANOVA — Wariancja składnika resztowego — Estymator — Regresja liniowa — Dominanta — Rozkład normalny

Bibliografia

• Feller W. (2008), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Hand D. (2014), Zasada nieprawdopodobieństwa. Dlaczego codziennie zdarzają się cuda, zbiegi okoliczności, rzadkie wydarzenia, Grupa Wydawnicza Foksal, Warszawa
• Jakubowski A. (2011), Statystyka i eksploracja danych Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa, Wydawca: UMK Toruń, Toruń
• Jakubowski J. (2010), Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Script, Warszawa
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Nawrocki J., Winnicki A. (2010), Matematyka cz.5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej, Politechnika Warszawska, Warszawa
• Seneta E. (2006), A Tricentenary history of the Law of Large Numbers, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia

Autor: Mariola Klaś