Prawo wielkich liczb

Prawo wielkich liczb
Polecane artykuły

Prawo wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.

Prawa Bernoulliego

W książce Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa [1] autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:

  • Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Niech \( S_{n} \) oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego \( n \) prób, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe \( p \), to dla każdego \( \varepsilon > 0 \) \(\lim_{n \to \infty} P(|{\frac{S_{n}}{n}} - p| \leqslant \varepsilon ) = 1 \).

  • Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli \( S_{n} \) oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego \( n \) prób, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe \( p \). Wtedy \( P\)-prawie wszędzie \( \frac{S_{n}}{n} \to p \), gdy \( n \to \infty \). Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.

Prawa Markowa

Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń [2]:

  • mówimy, że ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) jest zbieżny do \( C \) według prawdopodobieństwa, gdy dla każdego \( \varepsilon > 0 \) zachodzi\[ P(|{\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} - C|> \varepsilon) \to 0 \textit{ dla } n \to + \infty , \]
  • mówimy, że ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) jest zbieżny do \( C \) z prawdopodobieństwem jeden (prawie na pewno), gdy\[ P \{\omega; {\frac{X_{1}(\omega) + X_{2}(\omega) + \dots + X_{n}(\omega)}{n}} \to C \} = 1 . \]
  1. Ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) spełnia słabe prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała \( C \) taka, że według prawdopodobieństwa\[ {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to_{p} C \textit{ dla } n \to + \infty . \]
  2. Ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) spełnia mocne prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała \( C \) taka, że\[ {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to C \textit{ dla } P \textit{-prawie na pewno} .\]

Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi

MPWL, czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida [3][4]:

  • Ciąg \( X_1, X_2, \dots \) oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli \( E|X| < +\infty \) to\[ {\frac {X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to EX_{1},\textit{ gdzie } P \textit{-prawie wszędzie.} \]
  • To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że \( P(\limsup_n {\frac {|X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}|}{n}} < +\infty) > 0 \) wynika\[ E|X| < + \infty \textit{ i średnie są zbieżne prawie wszędzie do } EX_{1}. \]

Zastosowanie prawa wielkich liczb

Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich [5]:

  • metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
  • wyliczanie dystrybuanty empirycznej.
  • dowodzenie twierdzeń dotyczących teorii liczb.
  • w statystyce. Zgodnie z prawem wielkich liczb wnioski o konkretnej grupie można wyciągnąć tylko na podstawie odpowiednio dużej próby. Im próba jest większa tym bardziej wynik powinien zbliżać się do wartości przeciętnej.

Przypisy

  1. J. Jakubowski (2001) s.154,155
  2. A. Jakubowski A. (2011) s.23
  3. A. Jakubowski (2011) s.24
  4. J. Jakubowski (2001) s.158
  5. J. Jakubowski (2001) s.160-163

Bibliografia

Autor: Mariola Klaś