Wariancja składnika resztowego

Wariancja składnika resztowego
Polecane artykuły

Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych
wokół teoretycznych (zwana wariancją resztową)

Jeśli przyjmiemy, że funkcja regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej
niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej
prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie działanie

czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.
Miarą wahań przypadkowych jest właśnie wariancja resztowa [1].

\(s^2\left (u_i)\right)\) =\( \frac{\sum_{i=1}^n \left (y_i-\bar{y}\right)^2}{\left (n-k\right)}\) =\( \frac{\sum_{i=1}^n u_i^2}{n-k}\)

gdzie n jest liczebnością próby, a k- liczbą szacowanych parametrów funkcji regresji
W przypadku funkcji regresji X względem Y wzór na wariancję resztową przyjmuje postać:

\(s^2 \left (z_i\right) \)= \(\frac{\sum_{i=1}^n \left (x_i-\bar{x_i}\right)^2}{\left (n-k\right)}\)= \( \frac{\sum_{i=1}^n z_i^2}{n-k}\)

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli odchylenie standardowe składnika resztowego)
informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych
otrzymanych z funkcji regresji [2]. W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego
skłądnika resztowego statystyczna dobroć dopasowania danej funkcji regresji do danych
empirycznych maleje. Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:

\(s^2\left (u_i\right)\) = \( s^2\left (y\right)\)- \(s^2\left (\bar{y_i}\right)\)

oraz

\(s^2\left (z_i\right)\)= \( s^2\left (x\right)\left[1-r_{x, y}\right]\)

Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji
wartości teoretycznych oraz wariancji resztowej [3].

Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym

Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji
oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego \(S^2\)(u) a wariancją składnika losowego \(\sigma^2\)(\(\xi\)).
Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:

\(u_i=f \left (c_1, c_2, c_3, c_4,\xi \right),\)


gdzie:

  • c- to błędy systematyczne
    • \(c_1\)- błąd wynikający z przyjęcia danej funkcji regresji
    • \(c_2\)- błąd wynikający z nieuwzględnienia innych (poza daną) zmiennych objaśniających
    • \(c_3\)- błąd wynikający z pomiaru, agregacji, przyjętych definicji itp
    • \(c_4\)- błąd wynikający z innych (nielosowych) przyczyn
  • \(\xi\)- błąd o charakterze przypadkowym- (składnik losowy)

Jest oczywiste, że funkcja regresji \(\bar{y_i}\)=f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",
im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a
wariancja składnika resztowego \(S^2\)(u) musi być większa od wariancji składnika losowego \(\sigma^2\left (\xi\right)\). \(S^1\)(u) jest bowiem punktową oceną \(\sigma^2\left (\xi\right)\). Im model regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej
rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego
(różnica między \(S^2\)(u) a \(\sigma^2\left (\xi\right)\) rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że
łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się \(\sigma^2\left (\xi\right)\).
Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności
zjawisk gospodarczo- społecznych [4].

Klasyczny model Sharpa

Dla każdego równania oszacowanego MNK (Metoda Najmniejszych Kwadratów) obiera się dwa parametry struktury stochastycznej modelu, które służą jako ocena stabilności modelu. Są to: odchylenie standardowe składnika resztowego i współczynnik korelacji wielorakiej . Odchylenie standardowe składnika resztowego jest niezbędne do wyznaczenia linii ograniczających, jeśli chodzi o zmiane stóp zwrotu akcji. Do stóp zwrotu akcji obliczonych na podstawie modelu dodaje się podwojoną wartość odchylenia standardowego składnika resztowego. W ten sposób otrzymuje się górną linię sygnałową. Dolna linia sygnałowa powstaje poprzez różnice cen akcji podwojonego odchylenia standardowego składnika resztowego [5].

Bibliografia

Przypisy

  1. W. Makać, D. Urbanek-Krzysztofiak, "Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo UG, Gdańsk 2004
  2. M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263
  3. M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263
  4. M.Krzysztofiak, A. Luszmoewicz, "Statystyka" PWE, Warszawa 1976, s. 249
  5. W. Tarczyński, 2009 s. 200

Autor: Nowacka Bernadeta Szymon Banach