Wariancja składnika resztowego
| Wariancja składnika resztowego |
|---|
| Polecane artykuły |
Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych
wokół teoretycznych (zwana wariancją resztową)
Jeśli przyjmiemy, że funkcja regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej
niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej
prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie działanie
czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.
Miarą wahań przypadkowych jest właśnie wariancja resztowa [1].
\(s^2\left (u_i)\right)\) =\( \frac{\sum_{i=1}^n \left (y_i-\bar{y}\right)^2}{\left (n-k\right)}\) =\( \frac{\sum_{i=1}^n u_i^2}{n-k}\)
gdzie n jest liczebnością próby, a k- liczbą szacowanych parametrów funkcji regresji
W przypadku funkcji regresji X względem Y wzór na wariancję resztową przyjmuje postać:
\(s^2 \left (z_i\right) \)= \(\frac{\sum_{i=1}^n \left (x_i-\bar{x_i}\right)^2}{\left (n-k\right)}\)= \( \frac{\sum_{i=1}^n z_i^2}{n-k}\)
Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli odchylenie standardowe składnika resztowego)
informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych
otrzymanych z funkcji regresji [2].
W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego
skłądnika resztowego statystyczna dobroć dopasowania danej funkcji regresji do danych
empirycznych maleje.
Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:
\(s^2\left (u_i\right)\) = \( s^2\left (y\right)\)- \(s^2\left (\bar{y_i}\right)\)
- oraz
\(s^2\left (z_i\right)\)= \( s^2\left (x\right)\left[1-r_{x, y}\right]\)
Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji
wartości teoretycznych oraz wariancji resztowej [3].
Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym
Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji
oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego \(S^2\)(u) a wariancją składnika losowego \(\sigma^2\)(\(\xi\)).
Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:
\(u_i=f \left (c_1, c_2, c_3, c_4,\xi \right),\)
gdzie:
- c- to błędy systematyczne
- \(c_1\)- błąd wynikający z przyjęcia danej funkcji regresji
- \(c_2\)- błąd wynikający z nieuwzględnienia innych (poza daną) zmiennych objaśniających
- \(c_3\)- błąd wynikający z pomiaru, agregacji, przyjętych definicji itp
- \(c_4\)- błąd wynikający z innych (nielosowych) przyczyn
- \(\xi\)- błąd o charakterze przypadkowym- (składnik losowy)
Jest oczywiste, że funkcja regresji \(\bar{y_i}\)=f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",
im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a
wariancja składnika resztowego \(S^2\)(u) musi być większa od wariancji składnika losowego \(\sigma^2\left (\xi\right)\).
\(S^1\)(u) jest bowiem punktową oceną \(\sigma^2\left (\xi\right)\). Im model regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej
rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego
(różnica między \(S^2\)(u) a \(\sigma^2\left (\xi\right)\) rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że
łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się \(\sigma^2\left (\xi\right)\).
Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności
zjawisk gospodarczo- społecznych [4].
Klasyczny model Sharpa
Dla każdego równania oszacowanego MNK (Metoda Najmniejszych Kwadratów) obiera się dwa parametry struktury stochastycznej modelu, które służą jako ocena stabilności modelu. Są to: odchylenie standardowe składnika resztowego i współczynnik korelacji wielorakiej . Odchylenie standardowe składnika resztowego jest niezbędne do wyznaczenia linii ograniczających, jeśli chodzi o zmiane stóp zwrotu akcji. Do stóp zwrotu akcji obliczonych na podstawie modelu dodaje się podwojoną wartość odchylenia standardowego składnika resztowego. W ten sposób otrzymuje się górną linię sygnałową. Dolna linia sygnałowa powstaje poprzez różnice cen akcji podwojonego odchylenia standardowego składnika resztowego [5].
Bibliografia
- Goczek Ł., (2012.) Metody ekonometryczne w modelach wzrostu gospodarczego, Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego, Warszawa
- Krzysztofiak M. Luszmoewicz A., (1976.) "Statystyka", PWE, Warszawa
- Makać W. Urbanek-Krzysztofiak D., (2004.) "Metody opisu statystycznego", Wydawnictwo UG, Gdańsk
- Piontek K., (2002.) Pomiar ryzyka metodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z "grubymi ogonami", Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczne we Wrocławiu, Wrocław
- Sobczyk M., (2011.) "Statystyka", PWN, Warszawa
- Tarczyński W., (2009.)O pewnym sposobie wyznaczania współczynnika beta na polskim rynku kapitalowym, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 15, 199-213, Uniwersytet Szczeciński
Przypisy
Autor: Nowacka Bernadeta Szymon Banach
