Model Markowa

Model Markowa
Polecane artykuły
Prognozowanie Kryterium minimaksowe Model ekonometryczny Predykcja Drzewo decyzyjne Metoda XYZ Modele podejmowania decyzji System wczesnego ostrzegania Ekonomia menedżerska

Model Markowa jest modelem szeroko stosowanym w badaniach zachowania konsumentów. Jest to model stochastyczny, opisujący problem podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Za kryterium oceny najczęściej przyjmuje się wartość dochodu, zysku, straty lub czasu.

Według modelu Markowa zachowanie konsumentów na rynku to nieprzerwany proces decyzyjny, w którym można wyróżnić określone stany następujące po sobie w danym czasie i osiągnięcie jakiegoś konkretnego stanu w jakimś konkretnym czasie jest uzależnione od osiągniętego stanu w okresie wcześniejszym. Tak więc model ten przyjmuje warunkowe prawdopodobieństwo osiągnięcia poszczególnych stanów.

TL;DR

Model Markowa jest matematyczną techniką modelowania zachowania konsumentów. Opiera się na prawdopodobieństwie przejścia między różnymi stanami. Może być używany do badania planów i zamiarów zakupowych oraz preferencji konsumentów. Ukryty model Markowa analizuje funkcję gęstości wielowymiarowego szeregu czasowego, w którym ukryta struktura przejścia jest zdefiniowana za pomocą procesu Markowa. Model ten opiera się na dwóch założeniach: ciąg ukrytych stanów jest zgodny z łańcuchem Markowa, a obserwacje są niezależne pod warunkiem znanego ukrytego stanu.

Podczas konstrukcji modelu Markowa określany jest:

• możliwy wariant wyboru (stan)
• cykl (okres czasu) - im krótszy cykl, tym bardziej model obrazuje rzeczywistą sytuację,
• prawdopodobieństwo przejścia - na podstawie dostępnych informacji możemy określić prawdopodobieństwo przejścia z jednego stanu do stanu następnego w ciągu jednej jednostki czasu.

Modele Markowa są matematyczną techniką modelowania opartą na rachunku macierzowym.

S. Mynarski przeprowadził badania planów i zamiarów dotyczących kupna samochodu przez gospodarstwa domowe. Badane jednostki podzielił na trzy grupy:

• grupa I - rodziny nie posiadające samochodu i nie planujące jego zakupu
• grupa II - rodziny nie mające samochodu, ale zamierzające go kupić
• grupa III - rodziny posiadające samochód

Przejście rodzin z jednej grupy (stanu) do (stanu) grupy drugiej w ciągu roku przedstawione zostało za pomocą macierzy przejścia:

$P={\begin{bmatrix}0,7&0,2&0,1\\0,1&0,6&0,3\\0&0&1\end{bmatrix}}$

P - prawdopodobieństwo

Wynika z niej, że 70 % rodzin z grupy I po upływie określonej jednostki czasu - jednego roku - prawdopodobnie pozostanie przy decyzji poprzedniej. 20% rodzin prawdopodobnie zaplanuje kupno samochodu w przyszłości, a 10% rodzin kupi samochód.

W grupie II, 60% rodzin po okresie jednego roku pozostanie najprawdopodobniej przy wcześniejszej decyzji, 30% prawdopodobnie kupi samochód, a 10% zrezygnuje z kupna.

Natomiast stan zbiorowości z grupy III, która posiada samochód, nie ulegnie zmianie.

Zastosowanie Modelu Markowa

Model Markowa ma szerokie zastosowanie w badaniach zachowania konsumentów. Jest także wykorzystywany w badaniach planów i zamiarów zakupu towarów, preferencji konsumentów, kolejności zakupu towarów, substytucji potrzeb itp.

Badania te nie są bardzo trudne i skomplikowane, dlatego są często i chętnie przeprowadzane w małych przedsiębiorstwach.

Ukryty model Markowa

”W ukrytym modelu Markowa badana jest funkcja gęstości wielowymiarowego szeregu czasowego f (Yt), w którym ukryta struktura przejścia jest zdefiniowana za pomocą procesu Markowa. W modelu tym dyskretna zmienna losowa Xt nie jest bezpośrednio mierzalna, a stany łańcucha nazywa się ukrytymi.” Ukryty model Markowa można zapisać jako:

$f(Y_{t})=\sum _{X_{1}=1}^{u}\dots \sum _{X_{T}=1}^{u}f(X_{1})\prod _{t=2}^{T}f(X_{t}|X_{t-1})\prod _{t=1}^{T}f(Y_{t}|X_{t}),$ gdzie:

• $f(X_{1})$ - funkcja gęstości rozkładu początkowego,
• $f(X_{t}|X_{t-1})$ - prawdopodobieństwo przejścia, które określa prawdopodobieństwo bycia w ukrytym stanie w czasie t, pod warunkiem bycia w tym stanie w czasie t − 1. Ukryta macierz przejścia A o elementach $a_{sr}$ oznacza prawdopodobieństwo przejścia z ukrytego stanu s do stanu r, tj. $a_{sr}=P(X_{t}=r|X_{t-1}=s)$:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1u}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{u1}&\cdots &a_{uu}\end{bmatrix}}$ Suma prawdopodobieństw w każdym wierszu macierzy A jest równa jeden.

• $f(Y_{t}|X_{t})$ - funkcja gęstości rozkładu wielowymiarowego.

Ukryty model Markowa opiera się na dwóch głównych założeniach:

• "Ciąg ukrytych stanów jest zgodny z łańcuchem Markowa, tj. $X_{t}$ jest zależny jedynie od stanu poprzedniego (wystąpienie każdego kolejnego stanu ukrytego łańcucha Markowa zależy wyłącznie od jego poprzednika).
• Obserwacje w każdym czasie są niezależne pod warunkiem znajomości ukrytego stanu $X_{t}$. Oznacza to, że obserwacja w czasie t zależy tylko od ukrytego stanu w czasie t, co bardzo często odnosi się do założenia o lokalnej niezależności, która jest głównym założeniem całej grupy modeli ze zmiennymi ukrytymi."

Bibliografia

• Figielska E. (2011). Ewolucyjne metody uczenia ukrytych modeli Markowa, "Zeszyty Naukowe Warszawskiej Wyższej Szkoły Informatyki", Nr 5
• Genge E. (2014). Zastosowanie ukrytych modeli Markowa w analizie oszczędności wśród Polaków, "Studia Ekonomiczne", Nr 189
• Grishkevich A., Grishkevich M. (2014). Interwałowe oszacowania wskaźników niezawodności strukturalnej systemów elektroenergetycznych, "Przegląd Elektrotechniczny" (Electrical Review), Nr 90(6)
• Łodziana – Grabowska J. (1996). Efektywność reklamy, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
• Mynarski S. (1987) Analiza rynku: problemy i metody, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
• Rudnicki L. (2000). Zachowanie konsumentów na rynku, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
• Shomali A., Kapusta M., Gajer M. (1999). Zastosowanie niejawnych modeli Markowa w systemach automatycznego rozpoznawania mowy, "Elektrotechnika i Elektronika", Nr 18

Przypisy

Autor: Paulina Krzak, Jacek Skalski