Model Markowa

Model Markowa
Polecane artykuły

Model Markowa jest modelem szeroko stosowanym w badaniach zachowania konsumentów. Jest to model stochastyczny, opisujący problem podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Za kryterium oceny najczęściej przyjmuje się wartość dochodu, zysku, straty lub czasu.

Według modelu Markowa zachowanie konsumentów na rynku to nieprzerwany proces decyzyjny, w którym można wyróżnić określone stany następujące po sobie w danym czasie i osiągnięcie jakiegoś konkretnego stanu w jakimś konkretnym czasie jest uzależnione od osiągniętego stanu w okresie wcześniejszym. Tak więc model ten przyjmuje warunkowe prawdopodobieństwo osiągnięcia poszczególnych stanów.[1][2]

Podczas konstrukcji modelu Markowa określany jest:

  • możliwy wariant wyboru (stan)
  • cykl (okres czasu) - im krótszy cykl, tym bardziej model obrazuje rzeczywistą sytuację,
  • prawdopodobieństwo przejścia - na podstawie dostępnych informacji możemy określić prawdopodobieństwo przejścia z jednego stanu do stanu następnego w ciągu jednej jednostki czasu.

Modele Markowa są matematyczną techniką modelowania opartą na rachunku macierzowym.

S. Mynarski przeprowadził badania planów i zamiarów dotyczących kupna samochodu przez gospodarstwa domowe. Badane jednostki podzielił na trzy grupy:[3]

  • grupa I - rodziny nie posiadające samochodu i nie planujące jego zakupu
  • grupa II - rodziny nie mające samochodu, ale zamierzające go kupić
  • grupa III - rodziny posiadające samochód


Przejście rodzin z jednej grupy (stanu) do (stanu) grupy drugiej w ciągu roku przedstawione zostało za pomocą macierzy przejścia\[ P = \begin{bmatrix} 0,7 & 0,2 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

P - prawdopodobieństwo

Wynika z niej, że 70 % rodzin z grupy I po upływie określonej jednostki czasu - jednego roku - prawdopodobnie pozostanie przy decyzji poprzedniej. 20% rodzin prawdopodobnie zaplanuje kupno samochodu w przyszłości, a 10% rodzin kupi samochód.

W grupie II, 60% rodzin po okresie jednego roku pozostanie najprawdopodobniej przy wcześniejszej decyzji, 30% prawdopodobnie kupi samochód, a 10% zrezygnuje z kupna.

Natomiast stan zbiorowości z grupy III, która posiada samochód, nie ulegnie zmianie.

Zastosowanie Modelu Markowa

Model Markowa ma szerokie zastosowanie w badaniach zachowania konsumentów. Jest także wykorzystywany w badaniach planów i zamiarów zakupu towarów, preferencji konsumentów, kolejności zakupu towarów, substytucji potrzeb itp.[4]

Badania te nie są bardzo trudne i skomplikowane, dlatego są często i chętnie przeprowadzane w małych przedsiębiorstwach.

Ukryty model Markowa

”W ukrytym modelu Markowa badana jest funkcja gęstości wielowymiarowego szeregu czasowego f (Yt), w którym ukryta struktura przejścia jest zdefiniowana za pomocą procesu Markowa. W modelu tym dyskretna zmienna losowa Xt nie jest bezpośrednio mierzalna, a stany łańcucha nazywa się ukrytymi.” [5] Ukryty model Markowa można zapisać jako\[f (Y_t) = \sum_{X_1=1}^u \dots \sum_{X_T=1}^u f (X_1) \prod_{t=2}^T f (X_t | X_{t-1}) \prod_{t=1}^T f (Y_t | X_t),\] gdzie:

  • \(f (X_1)\) - funkcja gęstości rozkładu początkowego,
  • \(f (X_t | X_{t-1})\) - prawdopodobieństwo przejścia, które określa prawdopodobieństwo bycia w ukrytym stanie w czasie t, pod warunkiem bycia w tym stanie w czasie t − 1. Ukryta macierz przejścia A o elementach \(a_{sr}\) oznacza prawdopodobieństwo przejścia z ukrytego stanu s do stanu r, tj. \(a_{sr} = P (X_t = r ⏐ X_{t−1} = s)\)\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1u} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{u1} & \cdots & a_{uu} \end{bmatrix}\]

Suma prawdopodobieństw w każdym wierszu macierzy A jest równa jeden.

  • \(f (Y_t | X_t)\) - funkcja gęstości rozkładu wielowymiarowego.

Ukryty model Markowa opiera się na dwóch głównych założeniach:

  • "Ciąg ukrytych stanów jest zgodny z łańcuchem Markowa, tj. \(X_t\) jest zależny jedynie od stanu poprzedniego (wystąpienie każdego kolejnego stanu ukrytego łańcucha Markowa zależy wyłącznie od jego poprzednika).
  • Obserwacje w każdym czasie są niezależne pod warunkiem znajomości ukrytego stanu \(X_t\). Oznacza to, że obserwacja w czasie t zależy tylko od ukrytego stanu w czasie t, co bardzo często odnosi się do założenia o lokalnej niezależności, która jest głównym założeniem całej grupy modeli ze zmiennymi ukrytymi."[6]

Bibliografia

Przypisy

  1. Rudnicki L. (2000). Zachowanie konsumentów na rynku, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 237-238
  2. Łodziana – Grabowska J. (1996). Efektywność reklamy, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 108-109
  3. Mynarski S. (1973) Analiza rynku. Problemy i metody, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  4. Shomali A., Kapusta M., Gajer M. (1999). Zastosowanie niejawnych modeli Markowa w systemach automatycznego rozpoznawania mowy, "Elektrotechnika i Elektronika”, Nr 18, s. 89-98
  5. Genge E. (2014). Zastosowanie ukrytych modeli Markowa w analizie oszczędności wśród Polaków, "Studia Ekonomiczne", Nr 189, s. 58-66
  6. Genge E. (2014). Zastosowanie ukrytych modeli Markowa w analizie oszczędności wśród Polaków, "Studia Ekonomiczne", Nr 189, s. 58-66

Autor: Paulina Krzak, Jacek Skalski