Prawo wielkich liczb
| Prawo wielkich liczb |
|---|
| Polecane artykuły |
Prawo wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.
Prawa Bernoulliego
W książce Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa [1] autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:
- Prawo wielkich liczb Bernoulliego
Niech \( S_{n} \) oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego \( n \) prób, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe \( p \), to dla każdego \( \varepsilon > 0 \) \(\lim_{n \to \infty} P(|{\frac{S_{n}}{n}} - p| \leqslant \varepsilon ) = 1 \).
- Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego
Jeśli \( S_{n} \) oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego \( n \) prób, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe \( p \). Wtedy \( P\)-prawie wszędzie \( \frac{S_{n}}{n} \to p \), gdy \( n \to \infty \). Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.
Prawa Markowa
Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń [2]:
- mówimy, że ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) jest zbieżny do \( C \) według prawdopodobieństwa, gdy dla każdego \( \varepsilon > 0 \) zachodzi\[ P(|{\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} - C|> \varepsilon) \to 0 \textit{ dla } n \to + \infty , \]
- mówimy, że ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) jest zbieżny do \( C \) z prawdopodobieństwem jeden (prawie na pewno), gdy\[ P \{\omega; {\frac{X_{1}(\omega) + X_{2}(\omega) + \dots + X_{n}(\omega)}{n}} \to C \} = 1 . \]
- Ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) spełnia słabe prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała \( C \) taka, że według prawdopodobieństwa\[ {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to_{p} C \textit{ dla } n \to + \infty . \]
- Ciąg zmiennych losowych \( X_{1}, X_{2}, ... \) spełnia mocne prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała \( C \) taka, że\[ {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to C \textit{ dla } P \textit{-prawie na pewno} .\]
Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi
MPWL, czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida [3][4]:
- Ciąg \( X_1, X_2, \dots \) oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli \( E|X| < +\infty \) to\[ {\frac {X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to EX_{1},\textit{ gdzie } P \textit{-prawie wszędzie.} \]
- To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że \( P(\limsup_n {\frac {|X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}|}{n}} < +\infty) > 0 \) wynika\[ E|X| < + \infty \textit{ i średnie są zbieżne prawie wszędzie do } EX_{1}. \]
Zastosowanie prawa wielkich liczb
Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich [5]:
- metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
- wyliczanie dystrybuanty empirycznej.
- dowodzenie twierdzeń dotyczących teorii liczb.
- w statystyce. Zgodnie z prawem wielkich liczb wnioski o konkretnej grupie można wyciągnąć tylko na podstawie odpowiednio dużej próby. Im próba jest większa tym bardziej wynik powinien zbliżać się do wartości przeciętnej.
Przypisy
Bibliografia
- Feller W. (2007), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Hand D.J., (2014), Zasada nieprawdopodobieństwa Dlaczego codziennie zdarzają się cuda, zbiegi okolicznościi rzadkie wydarzenia, Grupa Wydawnicza Foksal, Warszawa
- Jakubowski J., Sztencel R. (2001). Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo SCRIPT, Warszawa
- Jakubowski A., (2011), Statystyka i eksploracja danych Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa, Wydawca: UMK Toruń, Toruń
- Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Nawrocki J., Winnicki A., (2010), Matematyka cz.5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej, Politechnika Warszawska, Warszawa
- Seneta E., (2006), A Tricentenary history of the Law of Large Numbers, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia
Autor: Mariola Klaś
