Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną należy do miar klasycznych. Używana jest w statystyce (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km$^{2}$), pracochłonność lub w wyrażeniu ceny jednostkowej za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).

Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.

Wzory

W zależności od wybranego kryterium uporządkowania zebranych danych tj. szeregów statystycznych wyróżnia się dwie formuły do obliczenia średniej harmonicznej:

• Dla szeregu szczegółowego ${\bar {x}}_{h}$ dla liczb $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ średnia jest wyrażona wzorem:

${\bar {x}}_{h}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.$

gdzie $n$ to liczebność cech próby, zaś $x_{i}$ to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).

• Szeregi rozdzielcze dzielimy na punktowe i przedziałowe. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:

${\bar {x}}_{h}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}}{\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {n_{i}}{x_{i}}}}}.$

gdzie $\ n_{i}$ to liczebność i-tej próby, $x_{i}$ to wartość badanej cechy w i-tej klasie, $\ k$ stanowi liczbę klas (przedziałów klasowych).

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych, należy dodatkowo wyznaczyć środki przedziałów klasowych ${\dot {x}}_{i}$, które wstawiamy do powyższego wzoru w miejsce konkretnych wariantów cechy $\ x_{i}$. Należy również pamiętać o odpowiednim doborze jednostek tj. liczebności klas (wag). Wagę stanowi licznik jednostki natężenia np. dla cen (zł/kg) - wagą jest zł, dla produktywności (szt/h) - wagą jest ilość wytworzonych wyrobów (Michalski T. 2004, s. 104-105).

Przykładowe zadania

Zadanie 1. Pracownicy produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie wyrobu gotowego, a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.

${\bar {x}}_{h}={\frac {4}{{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}}}=15minut$

Wykonanie jednego wyrobu gotowego zajmuje średnio 15 minut.

Sprawdzenia poprawności wyniku można dokonać poprzez obliczenie ilości sztuk wyrobu gotowego wytworzonego przez każdego pracownika w danym czasie. I tak, w ciągu 3 godzin, czyli 180 minut, dwóch pracowników wykonało po 9 sztuk wyrobu gotowego, trzeci - 12 sztuk, zaś ostatni - 18 sztuk. Łącznie wykonali 48 sztuk wyrobu gotowego w ciągu 720 minut. Średni czas wykonania tego wyrobu obliczymy:

${\bar {t}}={\frac {720min.}{48szt.}}=15minut$

Zadanie 2. Na targowisku sprzedano za 100zł jabłka w cenie 2zł/kg oraz za 300zł jabłka w cenie 1,50zł/kg. Należy obliczyć przeciętną cenę jabłek na targowisku.

W zadaniu mamy do czynienia z jednostkami względnymi (zł/kg), zatem zastosuje się średnią harmoniczną dla szeregu rozdzielczego punktowego. Wyróżnia się dwie klasy - jedna 1,50zł/kg mierzona wartością 300zł, druga - 2zł/kg mierzona wartością 100zł. Obliczenia prezentują się następująco:

${\bar {x}}_{h}={\frac {300+100}{{\frac {1}{1{,}5}}\cdot 300+{\frac {1}{2}}\cdot 100}}={\frac {400}{200+50}}=1{,}6zl/kg$

Średnia cena jabłek na targowisku wyniosła 1,6zł/kg (Michalski T. 2004, s. 105).

Porównanie średniej harmonicznej i średniej arytmetycznej

Średnia harmoniczna różni się od średniej arytmetycznej zarówno pod względem definicji, jak i sposobu obliczania. Główną różnicą jest fakt, że średnia harmoniczna uwzględnia odwrotności danych, podczas gdy średnia arytmetyczna nie.

Podczas gdy średnia harmoniczna jest używana do obliczania wartości centralnej dla danych, średnia arytmetyczna jest bardziej popularna i powszechnie stosowana. Średnia arytmetyczna jest bardziej intuicyjna i łatwiejsza do zrozumienia, ponieważ po prostu sumuje się wartości danych i dzieli przez liczbę danych.

Porównanie wyników dla różnych typów danych może również wpływać na wybór miary centralnej. Jeśli dane mają duże wartości skrajne, średnia harmoniczna może dać bardziej reprezentatywny wynik, ponieważ bardziej uwzględnia te wartości. Jednak dla danych o małych wartościach skrajnych, średnia arytmetyczna może być bardziej adekwatna.

Podsumowując, średnia harmoniczna jest używana do obliczania wartości centralnej dla danych, uwzględniając odwrotności wartości. Różni się od średniej arytmetycznej i może być bardziej odpowiednia w przypadku danych z dużymi wartościami skrajnymi.

Zastosowanie i znaczenie średniej harmonicznej

W finansach i ekonomii

W finansach i ekonomii średnia harmoniczna jest często wykorzystywana do obliczania różnych wskaźników i miar. Przede wszystkim, jest ona stosowana do obliczania średniej ważonej cen akcji. W przypadku, gdy mamy do czynienia z różnymi klasami akcji, gdzie każda klasa ma swoją wagę, średnia harmoniczna pozwala uwzględnić te wagi i obliczyć wartość przeciętną uwzględniając ich znaczenie.

Kolejnym zastosowaniem średniej harmonicznej w finansach jest obliczanie średniej stopy zwrotu inwestycji. Średnia harmoniczna jest szczególnie przydatna w przypadku, gdy różne inwestycje mają różne stopy zwrotu. Dzięki zastosowaniu średniej harmonicznej można obliczyć miarodajny wskaźnik, który uwzględnia zarówno wartość inwestycji, jak i stopę zwrotu.

W analizie danych społecznych

W analizie danych społecznych średnia harmoniczna również ma swoje zastosowanie. Przede wszystkim, jest wykorzystywana do obliczania wskaźników zrównoważonego rozwoju. Wskaźniki te pozwalają ocenić, czy dany obszar lub społeczność rozwija się w sposób zrównoważony, czy też nie. Średnia harmoniczna jest używana do agregowania różnych wskaźników, które mają różne wagi, a które wpływają na ocenę zrównoważonego rozwoju.

Kolejnym zastosowaniem średniej harmonicznej w analizie danych społecznych jest obliczanie indeksu Gini. Indeks Gini jest miarą nierówności dochodowej w danej populacji. Średnia harmoniczna pozwala uwzględnić różne dochody i ich udziały w całej populacji, co jest istotne przy obliczaniu indeksu Gini.

W analizie danych czasowych

W analizie danych czasowych średnia harmoniczna również znajduje swoje zastosowanie. Przede wszystkim, jest wykorzystywana do obliczania średniej wartości w różnych okresach czasu. Dzięki temu można analizować zmiany wartości w czasie i obliczać średnią uwzględniając różne okresy.

Na przykład, jeśli analizujemy zmiany cen akcji w różnych okresach czasu, średnia harmoniczna pozwala obliczyć miarodajną wartość, która uwzględnia zmienność cen w różnych okresach. Jest to szczególnie przydatne przy analizie trendów rynkowych i prognozowaniu zmian cen w przyszłości.

Wnioskiem jest to, że średnia harmoniczna jest wszechstronnym narzędziem, które znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach. W finansach i ekonomii pomaga obliczać miarodajne wskaźniki, w analizie danych społecznych pozwala oceniać zrównoważony rozwój, a w analizie danych czasowych umożliwia obliczanie średnich wartości w różnych okresach czasu.

Ograniczenia i uwagi dotyczące średniej harmonicznej

Obliczanie średniej harmonicznej jest korzystne ze względu na swoje matematyczne właściwości, jednak istnieją pewne ograniczenia, które należy wziąć pod uwagę.

• Brak możliwości obliczenia dla danych o wartości zero. Najważniejszym ograniczeniem średniej harmonicznej jest niemożność obliczenia dla danych, które zawierają wartości zero. Wynika to z faktu, że w przypadku wystąpienia zera w zbiorze danych, cała średnia harmoniczna również przyjmuje wartość zero. Jest to spowodowane tym, że w mianowniku występuje suma odwrotności wartości, co powoduje, że zero w zbiorze danych daje nieskończoną wartość w mianowniku. W praktyce oznacza to, że średnia harmoniczna nie może być stosowana do danych, które zawierają zera.
• Konieczność uwzględnienia skrajnych wartości i wartości odstających. Innym ograniczeniem średniej harmonicznej jest potrzeba uwzględniania skrajnych wartości i wartości odstających. W przypadku gdy w zbiorze danych występują wartości skrajne, które są znacznie większe lub mniejsze od pozostałych wartości, wpływają one istotnie na średnią harmoniczną. Może to prowadzić do fałszywych wniosków i nieprawidłowych interpretacji danych. Dlatego ważne jest, aby w przypadku użycia średniej harmonicznej uwzględnić możliwość wystąpienia wartości skrajnych i wartości odstających.

Wykorzystanie średniej harmonicznej a rozkład logarytmiczny, gamma lub wykładniczy

Średnia harmoniczna znajduje zastosowanie nie tylko w przypadku danych o rozkładzie normalnym, ale również w przypadku danych o rozkładach logarytmicznym, gamma i wykładniczym. Przykłady zastosowania średniej harmonicznej dla tych rozkładów są szczególnie interesujące i mogą dostarczyć cennych informacji.

• Przykładem zastosowania średniej harmonicznej dla danych o rozkładzie logarytmicznym może być analiza wzrostu populacji organizmów, w której tempo wzrostu jest proporcjonalne do wielkości populacji. Średnia harmoniczna w tym przypadku pozwala na obliczenie średniego tempa wzrostu populacji.
• W przypadku danych o rozkładzie gamma, średnia harmoniczna może być użyta do obliczenia średniego czasu trwania pewnego procesu, na przykład czasu życia elementów w systemie.
• Natomiast w przypadku rozkładu wykładniczego, średnia harmoniczna może być stosowana do obliczenia średniego czasu między wystąpieniami pewnego zdarzenia, na przykład czasu oczekiwania na wystąpienie awarii w systemie.

Przykłady te pokazują, że średnia harmoniczna może być użyteczna w różnych przypadkach, nie tylko w analizie danych o rozkładzie normalnym. Warto jednak pamiętać, że wybór odpowiedniej miary centralnej, takiej jak średnia harmoniczna, zależy od charakteru danych i celu analizy. Należy zawsze dokładnie rozważyć ograniczenia i uwagi związane z daną miarą, aby uniknąć błędów i fałszywych wniosków.

Porównanie średniej harmonicznej z innymi miarami centralnymi

• Średnia arytmetyczna: Średnia arytmetyczna to najpopularniejsza miara centralna, którą obliczamy przez dodanie wszystkich wartości i podzielenie przez liczbę obserwacji. Jest najbardziej intuicyjna i łatwa do zrozumienia. Jednakże, średnia arytmetyczna jest bardzo wrażliwa na wartości odstające, co może wpływać na jej dokładność jako miary centralnej.
• Średnia ważona: Średnia ważona jest podobna do średniej arytmetycznej, ale różni się tym, że każda wartość ma przypisaną wagę. Ważenie wartości może być stosowane, gdy niektóre obserwacje są bardziej istotne lub mają większy wpływ na analizę. W przypadku, gdy dane są nierównomiernie rozłożone lub występuje nierówny wpływ różnych obserwacji, średnia ważona może być bardziej odpowiednia niż średnia arytmetyczna.
• Mediana: Mediana to wartość, która dzieli zbiór danych na dwie równe części. Jest to miara centralna, która jest mniej wrażliwa na wartości odstające niż średnia arytmetyczna. Mediana jest używana głównie w przypadku danych, które są skośne lub mają wartości odstające. Jednakże, mediana nie uwzględnia wszystkich wartości w zbiorze danych i może nie być reprezentatywna dla całego rozkładu.

Porównując średnią harmoniczną z innymi miarami centralnymi, warto zauważyć, że średnia harmoniczna jest bardziej wrażliwa na wartości mniejsze. Jeśli w zbiorze danych występują wartości bliskie zeru, średnia harmoniczna może być bardziej adekwatną miarą centralną niż średnia arytmetyczna. Jednakże, jeśli dane mają szeroki rozkład i występują wartości odstające, średnia harmoniczna może być mniej reprezentatywna niż mediana.

Wybór odpowiedniej miary centralnej

Wybór odpowiedniej miary centralnej zależy od charakterystyki danych oraz celu analizy. Należy rozważyć różne aspekty, takie jak rozkład danych, wartości odstające, wpływ poszczególnych obserwacji oraz cel badania.

Jeśli dane są równomiernie rozłożone i nie ma wartości odstających, średnia arytmetyczna może być odpowiednią miarą centralną. Jest łatwa do obliczenia i daje nam ogólne pojęcie o wartościach w zbiorze danych.

Jeśli dane są nierównomiernie rozłożone lub występują wartości odstające, mediana może być bardziej adekwatną miarą centralną. Mediana jest mniej wrażliwa na wartości odstające i może lepiej reprezentować ogólny rozkład wartości.

Jeśli niektóre obserwacje mają większy wpływ na analizę lub są bardziej istotne, można zastosować średnią ważoną. Ważenie wartości pozwoli uwzględnić różnice w znaczeniu różnych obserwacji.

W przypadku, gdy dane mają wartości bliskie zeru lub ich rozkład jest skośny, średnia harmoniczna może być bardziej odpowiednia niż średnia arytmetyczna. Średnia harmoniczna jest bardziej wrażliwa na małe wartości i może lepiej odzwierciedlać różnice pomiędzy nimi.

Średnia harmoniczna — artykuły polecane

Metody statystyczne — Wariancja — Mediana wzór — Kwartyl — Wartościowanie jakości — Kwantyl — Estymator nieobciążony — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Test Shapiro-Wilka

Bibliografia

• Antoniewicz R. (2005), O średnich i przeciętnych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
• Fałda B., Zając J. (2017) Uwagi na temat średnich w ekonomii, Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych Tom XVIII/2, 2017, s. 232-241, Instytut Matematyki i Informatyki PWSZ w Chełmie
• Kowalski J. (2006), Podstawy statystyki opisowej dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu
• Michalski T. (2008), Statystyka, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
• Tadeusiewicz R. i in. (1993), Bankowa obsługa państwowych funduszy celowych w Polsce, Wydawnictwa AGH, Kraków

Autor: Piotr Wyżga