Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna
Polecane artykuły

Średnią harmoniczną należy do miar klasycznych. Używana jest w statystyce (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km\(^2\)), pracochłonność lub w wyrażeniu ceny jednostkowej za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).

Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.

Wzory

W zależności od wybranego kryterium uporządkowania zebranych danych tj. szeregów statystycznych wyróżnia się dwie formuły do obliczenia średniej harmonicznej:

  • Dla szeregu szczegółowego \( \bar x_h \) dla liczb \( x_1, x_2,..., x_n \) średnia jest wyrażona wzorem:

\[ \bar x_h = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}}.\] gdzie \( n \) to liczebność cech próby, zaś \( x_i \) to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).

  • Szeregi rozdzielcze dzielimy na punktowe i przedziałowe. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:

\[ \bar x_h = \frac{\sum\limits_{i=1}^k \frac1{n_i}}{\sum\limits_{i=1}^k \frac{n_i}{x_i}}.\] gdzie \(\ n_i\) to liczebność i-tej próby, \( x_i \) to wartość badanej cechy w i-tej klasie, \(\ k\) stanowi liczbę klas (przedziałów klasowych).

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych, należy dodatkowo wyznaczyć środki przedziałów klasowych \(\dot x_i\), które wstawiamy do powyższego wzoru w miejsce konkretnych wariantów cechy \(\ x_i\). Należy również pamiętać o odpowiednim doborze jednostek tj. liczebności klas (wag). Wagę stanowi licznik jednostki natężenia np. dla cen (zł/kg) – wagą jest zł, dla produktywności (szt/h) – wagą jest ilość wytworzonych wyrobów (Michalski T. 2004, s. 104-105).

Przykładowe zadania

Zadanie 1. Pracownicy produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie wyrobu gotowego, a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego. \[ \bar x_h = \frac{4}{\frac1{20} + \frac1{20} + \frac1{15} + \frac1{10}} = 15 minut\]

Wykonanie jednego wyrobu gotowego zajmuje średnio 15 minut.

Sprawdzenia poprawności wyniku można dokonać poprzez obliczenie ilości sztuk wyrobu gotowego wytworzonego przez każdego pracownika w danym czasie. I tak, w ciągu 3 godzin, czyli 180 minut, dwóch pracowników wykonało po 9 sztuk wyrobu gotowego, trzeci – 12 sztuk, zaś ostatni – 18 sztuk. Łącznie wykonali 48 sztuk wyrobu gotowego w ciągu 720 minut. Średni czas wykonania tego wyrobu obliczymy: \[ \bar t = \frac{720min.}{48szt.} = 15 minut\]

Zadanie 2. Na targowisku sprzedano za 100zł jabłka w cenie 2zł/kg oraz za 300zł jabłka w cenie 1,50zł/kg. Należy obliczyć przeciętną cenę jabłek na targowisku.

W zadaniu mamy do czynienia z jednostkami względnymi (zł/kg), zatem zastosuje się średnią harmoniczną dla szeregu rozdzielczego punktowego. Wyróżnia się dwie klasy - jedna 1,50zł/kg mierzona wartością 300zł, druga – 2zł/kg mierzona wartością 100zł. Obliczenia prezentują się następująco: \[ \bar x_h = \frac{300+100}{\frac1{1{,}5}\cdot 300 + \frac1{2}\cdot 100} = \frac{400}{200+50}= 1{,}6 zł/kg\]

Średnia cena jabłek na targowisku wyniosła 1,6zł/kg (Michalski T. 2004, s. 105).

Bibliografia

  • Antoniewicz R. (2005). O średnich i przeciętnych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
  • Fałda B., Zając J. (2017) Uwagi na temat średnich w ekonomii, Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych Tom XVIII/2, 2017, s. 232 – 241, Instytut Matematyki i Informatyki PWSZ w Chełmie
  • Kowalski J. (2006). Podstawy statystyki opisowej dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu
  • Michalski T. (2004). Statystyka, WSiP, Warszawa
  • Tadeusiewicz R. (1993). Bankowa obsługa państwowych funduszy celowych w Polsce, Wydawnictwa AGH, Kraków

Autor: Piotr Wyżga