Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo
Polecane artykuły
Indeks Analiza regresji VAR Miary ryzyka Analiza statystyczna Symulacja Analiza przyczynowa Fraktal Finansowa ocena projektu

Metoda Monte Carlo (MC)- została opracowana przez zespół wielkiego węgierskiego matematyka Johna von Neumanna podczas II wojny światowej.
John von Neumann (1903-1957)- to węgierski matematyk, fizyk, teoretyk ekonomiczny, twórca teorii gier profesor matematyki w Princeton. W latach 1943-1955 pracował nad dyfuzja neutronów w Laboratorium Los Alamos von Neumann i wtedy też wykorzystał po raz pierwszy to podejście aby opisać losową naturę ruchu cząstek. Nazwa Monte Carlo miała wskazywać na przypadkowy (losowy, hazardowy) charakter zjawisk. (S. Bochner 1958, s. 3-5, 13).

Metoda Monte Carlo jest stosowana w różnych działach matematyka|matematykii numerycznej. Obejmuje ona obliczenia używane do algorytmów zrandomizowanych. Służy do matematycznego modelowania procesów zbyt złożonych (obliczenia całek, łańcuchów procesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą podejścia analitycznego. Metoda ta może być stosowana wszędzie tam, gdzie badane zagadnienie można opisać teoretycznie w ujęciu stochastycznym, chociaż samo zagadnienie może mieć przy tym charakter ściśle deterministyczny. Wykorzystywana jest zwłaszcza w fizyce statystycznej i statystyce Bayesowskiej. Istotą rolę w metodzie Monte Carlo jest losowanie przypadkowe wielkości charakteryzujących proces, dotyczy to zarówno rozkładów procesów prostych lub złożonych. Składa się ona z następujących głównych części: sformułowanie modeli stochastycznych badanych procesów realnych, modelowania zmiennych losowych o danym rozkładzie prawdopodobieństwa, rozwiązywania problemu statystycznego z zakresu teorii estymacji. Z matematycznego punktu widzenia etapy algorytmów Monte Carlo dzielą się na sposoby tworzenia losowych zmiennych, a następnie redukcji ich błędów oraz estymacji dokładności. (W. Niemiro 2013, s. 2, 5).

Pomiar ryzyka rynkowego - wartość zagrożona

Ryzyko rynkowe jest następstwem zmian cen na rynkach finansowych. Klasycznie liczy się je przy użyciu odchylenia standardowego stopy zwrotu. Wartość zagrożoną (Value at Risk) definiuje się jako stratę wartości aktywów taką, że można prawdopodobieństwo jej uzyskania będzie równe przyjętemu poziomowi tolerancji (zazwyczaj niewielkie-liczba bliska zeru). Wartość zagrożona jest wyższa dla dłuższych okresów oraz jej wartość maleje wraz ze wzrostem poziomu ufności (poziom ufności i tolerancji sumują się do 100%). Wartość zagrożoną oblicza się przy użyciu kwantyla rozkładu stopy zwrotu. Do jego estymacji przyjmuje się zazwyczaj jedno z następujących podejść:

• metoda wariancji-kowariancji - Zakłada normalny rozkład stóp zwrotu.
• metoda symulacji historycznej - Polega na braniu pod uwagę przeszłych stóp zwrotu danego instrumentu finansowego. Na przykład bierze się pod uwagę stopy zwrotu z każdego kolejnego dnia i na ich podstawie określa się ich empiryczny rozkład. Efektywność tej metody zależy od zmian wartości stóp. Jeśli nie zmieniały się w przeszłości ta metoda będzie mniej skuteczna.
• metoda Monte Carlo - Charakteryzuje ją najwyższy stopień zaawansowania. Brane są pod uwagę doświadczenia i wyniki z poprzednich doświadczeń empirycznych. W oparciu o nie przy pomocy geometrycznego ruchu Browna tworzony jest hipotetyczny model kształtowania się tych stóp. Następnie tworzy się dużą liczbę symulacji wartości stóp zwrotu i na ich podstawie uzyskuje się kwantyl rozkładu stopy zwrotu, co z kolei pozwala uzyskać wartość zagrożoną. (K. Jujuga 2007, s. 99-104)

Metoda Monte Carlo w 12 krokach

Metoda Monte Carlo jest zaliczana do klas metod symulacyjnych. Symulacja metodą Monte Carlo obejmuje dwanaście kroków: 

1. określenie parametru stanowiącego podstawę miernika danego problemu finansowego np. zysk, poziom zadłużenia czy stopa zwrotu,
2. budowanie modelu finansowego badanego problemu, przy wykorzystaniu matematycznych zależności pomiędzy najważniejszymi zmiennymi np. zmienne deterministyczne przyjmujące tylko jedna wartość lub zmienne losowe przyjmujące wiele wartości,
3. określenie odpowiedniego rozkładu prawdopodobieństwa dla każdej zmiennej losowej,
4. rozkład prawdopodobieństwa każdej zmiennej losowej musi być przetworzony do postaci skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa,
5. każdej wartości zmiennej losowej musi być przypisana odpowiednia wartość losowa,
6. dla każdej liczbie losowej musi istnieć możliwość wygenerowania liczby losowej,
7. każdej liczbie losowej musi być przypisana odpowiednia wartość zmiennej losowej,
8. odpowiednia wartość zmiennej losowej, określona w poprzednim kroku, musi być wykorzystana do wyznaczenia podstawowego miernika danego problemu,
9. wartość wyznaczona w kroku 8 musi być zapamiętana,
10. powtarzanie kroków od 6-9 wiele razy,
11. wartość podstawowego miernika zapamiętanego z kroku 9 staje się podstawą do określenia jego rozkładu prawdopodobieństwa i skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa,
12. skumulowany rozkład prawdopodobieństwa utworzony w kroku 11 musi zostać przeanalizowany, gdzie zostają wyznaczone parametry statystyki opisowej (A. Chyliński 1999, s. 148-149).

Głównym problemem rozwiązywania za pomocą tych metod jest określanie prawdopodobieństw dowolnych zdarzeń i wartości oczekiwanych zmiennych losowych.

Bibliografia

• Bochner S. (1958), John von Neumann
• Chyliński.A., (1999) Metoda Monte Carlo w bankowości, Twigger S.A., Warszawa
• Jujuga K., (2007) Zarządzanie ryzykiem, PWN, Warszawa
• Niemiro W. (2013), Symulacje stochatyczne i metody Monte Carlo

Autor: Dagmara Kryszpin, Krzysztof Skraba