Efektywna roczna stopa procentowa

Efektywna roczna stopa procentowa
Polecane artykuły
Dyskonto Oprocentowanie Stopa zwrotu Model Blacka Scholesa Procent składany Mnożnik kreacji pieniądza Rata Wewnętrzna stopa zwrotu Odchylenie standardowe

Efektywną roczną stopą procentową nazywamy stopę oprocentowania rocznego równoważną danej stopie oprocentowania składowego. Jest uzależniona od nominalnej stopy procentowej oraz okresów, w jakich następuje kapitalizacja odsetek, tj. od częstotliwości kapitalizacji.

Efektywna roczna stopa procentowa oznacza, o ile procent zwiększa się wartość kapitału w ciągu jednego roku

Wzór na efektywną roczną stopę procentową

Efektywną roczną stopę procentową obliczamy ze wzoru:

$r_{ef}=(1+{\frac {r}{m}})^{m}-1$

Gdzie:

• $r_{e}f$ - efektywne oprocentowanie roczne
• $r$ - nominalne oprocentowanie roczne
• $m$ - liczba kapitalizacji w roku (np. dla dla kapitalizacji półrocznej m=2, kwartalnej m=4, miesięcznej m=12)

Jak wynika ze wzoru, efektywne oprocentowanie roczne zależy przede wszystkim od:

• nominalnego oprocentowania rocznego $r$
• liczby kapitalizacji w roku $m$ – występującego zarówno w wykładniku potęgi jak i w mianowniku ułamka

Wnioski wynikające z analizy wzoru

Przy ustalonej stopie nominalnej, uwzględniając zależność stopy efektywnej od rocznego czynnika oprocentowującego, możemy sformułować następujące wnioski:

• stopa efektywna jest równa stopie nominalnej jedynie przy kapitalizacji rocznej
• stopa efektywna jest większa od stopy nominalnej, jeśli okres kapitalizacji jest krótszy od roku
• stopa efektywna jest tym większa, im częściej kapitalizuje się odsetki
• stopa efektywna jest największa przy kapitalizacji ciągłej.

Przykładowe zadanie dotyczące ustalania $r_{e}f$

Treść zadania:

• Do banku zostaje złożony depozyt na 10% rocznie, przy kapitalizacji półrocznej. należy wyznaczyć efektywną roczną stopę procentową.

Symbole

• $r$= 10%
• $m$= 2 (kapitalizacja półroczna)
• $r_{e}f$ - efektywne oprocentowanie roczne

Rozwiązanie:

1. $r_{e}f=({\frac {1+0,1}{2}})^{2}-1,00$
2. $r_{e}f=(1,05)^{2}-1,00$
3. $r_{e}f=1,1025-1,00$
4. $r_{e}f=10,25\%$

A więc dla podanych warunków efektywne oprocentowanie roczne wyniesie $r_{e}f$ = 10,25%

Efektywna stopa procentowa- pozostałe wzory

Kapitalizacja złożona z dołu (odsetki naliczane na końcu okresu kapitalizacji):

• zgodna:

1. $K_{n}=K_{0}*(1+r)^{n}$

• niezgodna:

1. $K_{n}=K_{0}*(1+{\frac {r}{m}})^{m*n}$
2. $K_{0}*(1+r)^{n}=K_{0}*(1+{\frac {r}{m}})^{n*m}$
3. $r_{e}f=(1+{\frac {r}{m}})^{m}-1$

Kapitalizacja złożona z góry (odsetki naliczane na początku okresu kapitalizacji):

• zgodna:

1. $K_{n}=K_{0}*(1-r)^{-n}$

• niezgodna:

1. $K_{m*n}=K_{0}*(1-{\frac {r}{m}})^{-m*n}$
2. $K_{0}*(1-r)^{-n}=K_{0}*(1-{\frac {r}{m}})^{-m*n}$
3. $r_{e}f=1-(1-{\frac {r}{m}})^{m}$

Symbole:

• $K_{0}$ - Kapitał początkowy
• $K_{n}$ - Kapitał po n okresach
• $m$ - liczba kapitalizacji
• $n$ - okresy

Bibliografia

• Gemzik-Salwach A., Analiza komparatywna koncepcji czasowej struktury stóp procentowych: podejście analityczne i krytyczne, e-Finanse, rocznik: 2010 tom:6 nr.2 str. 40-52
• Jakubowski J., Palczewski a., Rutkowski m., Matematyka finansowa, instrumenty pochodne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
• Klimkowska J., Podgórska M., Matematyka Finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
• Kłodzińska A., Analiza kointegracji stóp procentowych w Polsce, Zeszyty Naukowe Wydziału Nauk Ekonomicznych Politechniki Koszalińskiej 2010 | nr 14 | 107--114
• Rutkowski A., Zarządzanie finansami, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2007.
• Pilska S.R., Wprowadzenie do matematyki finansowej, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2005.

Przypisy

Autor: Jakub Jarosz, Paweł Dykas