Współczynnik asymetrii

Współczynnik asymetrii (współczynnik skośności) - jedna z miar asymetrii określająca kierunek i siłę asymetrii rozkładu wyrażona w postaci wzoru: $A_{s}={\frac {{\bar {x}}-M_{o}}{s}}$ gdzie ${\bar {x}}$ to średnia arytmetyczna dla grupy, $M_{o}$ to moda (dominanta), s to odchylenie standardowe . Współczynnik skośności jest narzędziem często wykorzystywanym w analizie statystycznej pozwalającym na interpretację rozkładu danych i informującym o równomierności rozłożenia cech w badanym zbiorze .

Istnieje też możliwość wyznaczenia współczynnika asymetrii wykorzystując kwartyle ($Q_{1},Q_{2},Q_{3}$) oraz odchylenie ćwiartkowe ($Q$). Wykorzystywany jest wtedy następujący wzór: $A_{s}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2M_{e}}{2Q}}$ a do prezentacji wartości kwantyli używany jest wykres pudełkowy.

Kierunki asymetrii

W zależności od wartości współczynnika asymetrii, występującego jako miara pozycyjna, wyróżnia się następujące kierunki asymetrii :

• rozkład asymetryczny lewostronnie (skośność lewostronna, asymetria ujemna) wstępuje, gdy $A_{s}<0$ a lewy ogon rozkładu jest dłuższy niż prawy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii lewostronnej średnia arytmetyczna ma niższą wartość niż mediana, której wartość jest niższa niż wartość mody: ${\bar {x}}<M_{e}<M_{o}$
• rozkład asymetryczny prawostronnie (skośność prawostronna, asymetria dodatnia) występuje, gdy $A_{s}>0$ a prawy ogon rozkładu jest dłuższy niż lewy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii prawostronnej średnia arytmetyczna ma wyższą wartość niż mediana, której wartość jest wyższa niż wartość mody: ${\bar {x}}>M_{e}>M_{o}$
• rozkład symetryczny - występuje dla rozkładu, w którym wartość średniej arytmetycznej, mediany i mody są sobie równe: ${\bar {x}}=M_{e}=M_{o}$

Klasyfikacja siły asymetrii

Współczynnik asymetrii stosowany w porównaniach wskazuje kierunek asymetrii. Im większa wartość, tym silniejsza asymetria. Asymetrie rozkładu klasyfikuje się najczęściej do jednej z poniższych reguł :

• rozkład symetryczny - dla $A_{s}=0$; liczebności rozmieszczone są jednakowo dla wartości cech w tej samej odległości od środka asymetrii (średniej arytmetycznej),
• słaba asymetria - dla $0<A_{s}<0,4$,
• umiarkowana asymetria - dla $0,4<A_{s}<0,7$,
• silna asymetria - dla $A_{s}>7$.

Podział miar asymetrii

Dla miar asymetrii wyróżnia się następujące miary :

• bezwzględne - określające kierunek asymetrii.

1. wskaźnik asymetrii (wskaźnik skośności) - w odróżnieniu od współczynnika asymetrii (współczynnika skośności) bada jedynie wartość różnicy między średnią arytmetyczną a modalną i może być wyrażony wzorem: ${{\bar {x}}-M_{o}}$ lub wzorem: $(Q_{3}-Q-2)-(Q_{2}-Q_{1})=Q_{3}+Q_{1}-2M_{e}$ Dla wskaźnika asymetrii, analogicznie jak dla współczynnika asymetrii, można wyróżnić trzy rodzaje rozkładu: symetryczny (dla ${\bar {x}}=M_{e}=M_{o}$), asymetryczny lewostronnie (dla ${\bar {x}}<M_{e}<M_{o}$) oraz asymetryczny prawostronnie (dla ${\bar {x}}>M_{e}>M_{o}$), jednak nie może wyznaczyć on siły asymetrii, ponieważ cechy wyrażone są w jednostkach bezwzględnych,
2. kwartylowy wskaźnik asymetrii,
3. trzeci moment centralny (moment centralny trzeciego rzędu) - wynik uzyskiwany przy wykorzystaniu szeregu prostego (wyliczającego), punktowego (jednostopniowego) lub szeregu przedziałowego w zależności od rodzaju dostępnych danych. Informuje o kierunku asymetrii i pozwala wykorzystać zarówno dane niezgrupowane, jak i dane zgrupowane.

• względne - określające kierunek oraz siłę asymetrii. Wielkość współczynników determinuje siłę asymetrii.

1. klasyczno-pozycyjny współczynnik skośności (asymetrii),
2. kwartylowy współczynnik skośności (asymetrii),
3. absolutna miara asymetrii standaryzowany (trzeci moment centralny standaryzowany) - wynik miary może być uzyskany za pomocą obliczenia szeregu szczegółowego, rozdzielczego punktowego (jednostajnego) lub szeregu rozdzielczego przedziałowego.

Analiza współczynnika asymetrii

Wykorzystanie współczynnika asymetrii w praktyce

Współczynnik asymetrii jest powszechnie stosowaną miarą w analizie danych, która pozwala ocenić rozkład zmiennej losowej. Praktyczne zastosowanie tej miary jest szerokie i znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak ekonomia, finanse, nauki społeczne i wiele innych.

W kontekście ekonomii, współczynnik asymetrii może być wykorzystywany do analizy rozkładu dochodów. Pozwala on ocenić, czy rozkład dochodów w danej populacji jest symetryczny czy asymetryczny. W przypadku, gdy rozkład jest asymetryczny, współczynnik asymetrii pozwala określić kierunek i stopień asymetrii. Ta informacja ma duże znaczenie dla podejmowania decyzji ekonomicznych i politycznych, dotyczących m.in. podziału dochodu czy skali interwencji państwa.

W finansach, współczynnik asymetrii jest używany do analizy ryzyka inwestycyjnego. Pozwala on ocenić, czy zwroty z inwestycji mają rozkład symetryczny czy asymetryczny. Jeśli rozkład jest asymetryczny, można określić, czy jest to asymetria dodatnia (większe ryzyko wzrostu cen) czy asymetria ujemna (większe ryzyko spadku cen). Ta informacja jest cenna dla inwestorów, którzy szukają optymalnych portfeli inwestycyjnych i chcą zminimalizować ryzyko.

W naukach społecznych, współczynnik asymetrii może być wykorzystywany do analizy rozkładu zmiennych, takich jak preferencje polityczne czy ocena zadowolenia z życia. Pozwala on ocenić, czy rozkład tych zmiennych jest symetryczny czy asymetryczny, co może wskazywać na istnienie ukrytych wzorców czy zależności między zmiennymi.

Wykrywanie nietypowych obserwacji

Współczynnik asymetrii może być również przydatny w identyfikacji nietypowych obserwacji w zbiorze danych. Nietypowe obserwacje, zwane także wartościami odstającymi, mogą znacząco wpływać na wyniki analizy i zakłócać interpretację danych. Współczynnik asymetrii pozwala na identyfikację takich obserwacji poprzez ocenę rozkładu danych.

W przypadku, gdy współczynnik asymetrii jest bliski zera, oznacza to, że rozkład danych jest symetryczny i nie występują nietypowe obserwacje. Jednak gdy wartość współczynnika jest znacząco różna od zera, może to wskazywać na obecność nietypowych obserwacji. Wartości dodatnie sugerują obecność obserwacji o wyższych wartościach niż reszta danych, natomiast wartości ujemne wskazują na obserwacje o niższych wartościach.

Identyfikacja nietypowych obserwacji jest istotna w wielu dziedzinach. Na przykład, w analizie finansowej, wartości odstające mogą oznaczać błędne dane lub istotne zdarzenia, takie jak kryzysy gospodarcze czy zmiany regulacji. W naukach społecznych wartości odstające mogą wskazywać na szczególnie ważne przypadki czy znaczące anomalie w badanej populacji.

Wpływ wartości odstających na wyniki analizy

Wartości odstające mogą znacząco wpływać na wyniki analizy współczynnika asymetrii i dlatego konieczne jest uwzględnienie ich obecności i ocena wpływu na wyniki analizy. W przypadku, gdy wartości odstające są obecne, wartość współczynnika asymetrii może być znacznie zniekształcona.

W przypadku, gdy wartości odstające mają duże znaczenie dla badanego zjawiska, mogą one wprowadzać błędne wnioski na temat rozkładu danych. Dlatego ważne jest, aby dokładnie zbadać te wartości i zdecydować, czy należy je uwzględnić w analizie czy też je wykluczyć jako wynik błędnych pomiarów czy innych czynników zakłócających.

W praktyce, istnieje wiele metod identyfikacji i obsługi wartości odstających, takich jak metody statystyczne czy metody oparte na eksperckiej wiedzy. Ważne jest, aby wybrać odpowiednią metodę, która odpowiada kontekstowi badania i celom analizy.

Wnioski: Współczynnik asymetrii jest przydatnym narzędziem w analizie danych, pozwalającym ocenić rozkład zmiennych. Jego praktyczne zastosowanie jest szerokie i znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak ekonomia, finanse i nauki społeczne. Ponadto, współczynnik asymetrii może być używany do identyfikacji nietypowych obserwacji, co jest istotne dla weryfikacji danych i poprawnej interpretacji wyników analizy. Należy jednak pamiętać, że wartości odstające mogą wpływać na wyniki analizy i dlatego konieczne jest uwzględnienie ich obecności i ocena ich wpływu na wyniki analizy.

Interpretacja współczynnika asymetrii

Współczynnik asymetrii jako miara skośności rozkładu danych

Współczynnik asymetrii jest miarą skośności rozkładu danych, która informuje nas o tym, czy rozkład jest symetryczny czy też skośny. Współczynnik ten mierzy stopień asymetrii danych względem wartości oczekiwanej.

Kiedy wartość współczynnika asymetrii wynosi zero, oznacza to, że dane są symetryczne względem wartości oczekiwanej. Oznacza to, że lewa i prawa strona rozkładu mają taką samą liczbę wartości, a ich średnia jest równa wartości oczekiwanej. Jednakże, jeśli współczynnik asymetrii jest różny od zera, oznacza to, że rozkład danych jest skośny.

Wartości współczynnika asymetrii

Współczynnik asymetrii może przyjmować różne wartości, które informują nas o charakterze asymetrii rozkładu danych. Wartość dodatnia wskazuje na prawostronną asymetrię, co oznacza, że ogon rozkładu jest dłuższy po prawej stronie wartości oczekiwanej, co sugeruje większą ilość danych o większych wartościach. Z kolei, wartość ujemna sugeruje lewostronną asymetrię, czyli większą ilość danych o mniejszych wartościach. Gdy współczynnik asymetrii wynosi zero, oznacza to, że rozkład jest symetryczny.

Interpretacja wartości współczynnika asymetrii jest istotna, ponieważ pozwala nam zrozumieć, w jakim stopniu dane są skośne i w której stronie rozkładu występuje większa koncentracja wartości. Jest to przydatne w analizie danych, zwłaszcza w przypadku porównywania różnych rozkładów.

Wpływ innych miar statystycznych na interpretację współczynnika asymetrii

W celu pełniejszego zrozumienia asymetrii danych, warto interpretować współczynnik asymetrii w kontekście innych miar statystycznych. Istnieje wiele innych miar, takich jak kurtoza, odchylenie standardowe czy rozstęp międzykwartylowy, które mogą wzbogacić naszą interpretację współczynnika asymetrii.

Przykładowo, jeśli rozkład danych jest skośny i jednocześnie ma dużą kurtozę, oznacza to, że rozkład ma długie i grube ogony, co sugeruje występowanie ekstremalnych wartości. Z kolei, jeśli rozkład ma małą kurtozę, ale wysoką wartość współczynnika asymetrii, może to wskazywać na bardziej płaski rozkład z większą koncentracją wartości w jednym z ogonów.

Dlatego, aby pełniej zrozumieć asymetrię danych, należy uwzględnić inne miary statystyczne, które dostarczą nam dodatkowych informacji na temat rozkładu danych.

Zastosowanie współczynnika asymetrii w różnych dziedzinach

Analiza ryzyka finansowego

Współczynnik asymetrii jest jednym z narzędzi wykorzystywanych w analizie ryzyka finansowego. Pozwala on na ocenę asymetrii rozkładu danych finansowych i pomaga w identyfikacji możliwych nieprawidłowości.

Wartość współczynnika asymetrii wskazuje, czy rozkład danych jest symetryczny czy asymetryczny. Jeśli wartość współczynnika jest dodatnia, oznacza to, że rozkład danych jest prawoskośny, czyli posiada długi ogon po prawej stronie. Jeśli wartość współczynnika jest ujemna, rozkład danych jest lewoskośny, czyli posiada długi ogon po lewej stronie. Dzięki temu mamy możliwość oceny, czy ryzyko finansowe ma tendencję do występowania w jednym kierunku.

Identyfikacja rozkładów danych, które nie są normalne, jest kluczowa w analizie ryzyka finansowego. Wielu inwestorów i analityków korzysta z założenia, że rozkład danych finansowych jest normalny. Jednak w praktyce często mamy do czynienia z rozkładami, które nie spełniają tej założonej normy. Dlatego wartość współczynnika asymetrii pozwala nam na zidentyfikowanie odchyleń od rozkładu normalnego i dostarcza dodatkowych informacji o charakterze ryzyka.

Analiza czasowa i prognozowanie

Współczynnik asymetrii ma również zastosowanie w analizie czasowej i prognozowaniu. Pozwala on na analizę zmienności rozkładu danych w różnych okresach czasowych.

Przez analizę współczynnika asymetrii w różnych okresach czasowych, możemy zidentyfikować, czy zmienność danych jest stabilna czy zmienia się w czasie. Jeśli wartość współczynnika asymetrii jest zbliżona do zera w różnych okresach czasowych, oznacza to, że zmienność danych jest stabilna. Natomiast jeśli wartość współczynnika różni się w różnych okresach czasowych, wskazuje to na niestabilność danych i możliwość występowania nieliniowości.

Analiza współczynnika asymetrii może również pomóc w prognozowaniu przyszłych trendów. Jeśli wartość współczynnika asymetrii wskazuje na rosnącą tendencję, możemy przewidywać wzrost danych w przyszłości. Z kolei, jeśli wartość współczynnika wskazuje na malejącą tendencję, możemy przewidywać spadek danych w przyszłości.

Analiza wielowymiarowa

Współczynnik asymetrii znajduje również zastosowanie w analizie wielowymiarowej. Pozwala on na ocenę asymetrii w rozkładach danych o większej liczbie wymiarów.

Analiza wielowymiarowa to analiza danych, które posiadają więcej niż jedną zmienną. W takich przypadkach wartość współczynnika asymetrii może dostarczyć dodatkowych informacji o strukturze danych. Za pomocą współczynnika asymetrii możemy ocenić, czy rozkład danych jest symetryczny w każdym wymiarze, czy też istnieją różnice między wymiarami.

Analiza asymetrii w kontekście danych o większej liczbie wymiarów jest szczególnie istotna, ponieważ pozwala na identyfikację skomplikowanych wzorców i zależności między zmiennymi. Dzięki temu możemy lepiej zrozumieć strukturę danych i podejmować bardziej trafne decyzje.

Przypisy

Współczynnik asymetrii — artykuły polecane

Percentyl — Metody statystyczne — Współczynnik zmienności — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Średnia — Średnia geometryczna — Wariancja — Kurtoza — Zmienna ilościowa

Bibliografia

• Bednarz-Okrzyńska K. (2016), Analiza zależności między wartością współczynnika asymetrii a wartością semiodchylenia standardowego stóp zwrotu wybranych indeksów giełdowych i spółek, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytetu Szczecińskiego, nr 45, s. 181
• Homa M., Mościbrodzka M. (2018), Wykorzystanie narzędzi wielowymiarowej analizy porównawczej w badaniu jednorodności funduszy inwestycyjnych akcji pod względem ryzyka i efektywności - podejście klasyczne i alternatywne, E-Wydawnictwo. Prawnicza i Ekonomiczna Biblioteka Cyfrowa. Wydział Prawa, Administracji i Ekonomii Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, s. 62
• Major M., Niezgoda J. (2003), Statystyka, Część I. Statystyka opisowa, Krakowskie Towarzystwo Edukacyjne, Kraków, s. 62-63
• Tarka D., Olszewska A. (2018), Elementy Statystyki, Opis statystyczny, Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, Białystok, s. 156-163
• Wesołowska-Janczarek M., Kornacki A. (2016), O różnych znakach współczynników asymetrii w rozkładach empirycznych, Economic and Regional Studies, nr 9, s. 64

Autor: Mariola Karasińska