Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego $N$ prób nazywamy doświadczenie polegające na $N$ - krotnym powtórzeniu ustalonej próby Barnoulliego, przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich i nie wpływa na wyniki następnych. "Jeżeli rezultatem danego zdarzenia losowego może być tylko sukses albo porażka, wówczas takie doświadczenie nazywamy doświadczeniem Bernoulliego.Liczba sukcesów w jednym doświadczeniu Bernoulliego może wynosić 1 albo 0 i nazywana jest zmienną losową zero-jedynkową".(Aczel A.P. Sounderpandian J. 2018,) Ogólnie i prosto rzecz ujmując Schemat Bernoulliego przedstawia sytuację, gdy:

1. Robimy doświadczenie, w którym są możliwe tylko dwa wyniki. Jeden z nich będzie sukcesem, a drugi nazwiemy porażką.
2. Doświadczenie to można powtórzyć wielokrotnie be zmiany założonych warunków.

Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Barnoulliego o $N$ próbach sukces otrzyma się dokładnie $k$ razy $(0\leq k\leq N)$ jest równe:

$P(k,n,p)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},$

gdzie:

$p>0$, $q>0$ i $p+q=1$

$k=0,1,2,\ldots ,n$

$p$ - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie

$q$ - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie

Próba Bernoulliego

Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe są tylko dwa wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników nazywa się sukcesem, a drugi porażką. Pośród doświadczeń wieloetapowych na dużą uwagę zasługują te polegające na n-krotnym powtórzeniu, które są powtarzane w tych samych warunkach i są od siebie niezależne. Kończą się one tylko jednym wynikiem spośród dwóch. Najlepszymi i najprostszymi przykładami są próby Bernoulliego może być zwykły rzut monetą lub zakup losu na loterii. W pierwszym jak i drugim przypadku możliwe są tylko dwie opcje, a mianowicie orzeł lub reszka oraz los wygrany lub przegrany. Bernoulli podjął badania nad losowymi zdarzeniami. Podjął się także opracowywaniem matematycznych zagadnień, które z dowolnego przedsięwzięcia z którym idzie ryzyko pozwalają oszacować korzyści w danej sytuacji.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego.

Jeżeli w schemacie $N$ prób Bernoulliego liczba $(N+1)p$:

• nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od $k_{0}=(N+1)p,$
• jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe: $k_{1}=(N+1)p-1$ i $k_{2}=(N+1)p$

Wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem:

$D^{2}X=npq,$

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym) podana jest wzorem:

$E(X)=np,$

Moment centralny $\mu _{3}$ zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym (rozkładzie Bernoulliego, rozkładzie binomialnym)podana jest wzorem:

$\mu _{3}=npq(1-2p)$

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym podana jest wzorem:

$F(x)=\sum _{k<x}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},$

Funkcja rozkładu dwumianowego (rozkładu Bernoulliego) zależy od dwóch parametrów: liczby doświadczeń $n$ ORAZ prawdopodobieństwa sukcesu $p$. W zależności od wielkości wcześniejszych parametrów zmienia się kształt funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.:

• dla $p=q={\frac {1}{2}}$ rozkład dwumianowy jest symetryczny,
• dla $p\neq q$ rozkład jest asymetryczny,
• dla $p<{\frac {1}{2}}$ rozkład jest prawostronnie asymetryczny,
• dla $p>{\frac {1}{2}}$ rozkład jest lewostronnie asymetryczny,

Zastosowania schematu Bernoulliego

Schemat Bernoulliego jest często wykorzystywany w statystyce i analizie danych do modelowania zdarzeń binarnych, w których wynik może być tylko jeden z dwóch możliwych - sukces lub porażka, tak/nie, itp. Przykłady zastosowań schematu Bernoulliego w tej dziedzinie obejmują badania eksperymentalne, gdzie interesuje nas np. sukces lub porażka w wyniku pewnego eksperymentu, marketing, gdzie chcemy określić, czy dana osoba zdecyduje się na zakup danej usługi lub produktu, oraz analizę wyborów, gdzie badamy preferencje konsumentów i ich decyzje zakupowe.

W teorii decyzji schemat Bernoulliego jest wykorzystywany do modelowania sytuacji, w których podejmujemy decyzje binarne. Możemy na przykład ocenić, czy inwestycja przyniesie zysk czy stratę, czy podjąć ryzykowną decyzję czy nie. Schemat ten pozwala nam na formalne opisanie wyników takich decyzji i ocenę ich konsekwencji.

W ekonomii i zarządzaniu ryzykiem schemat Bernoulliego znajduje szerokie zastosowanie. Może być używany do modelowania zachowań konsumentów i analizy wyników finansowych. Na przykład, możemy wykorzystać schemat Bernoulliego do stworzenia modelu zachowań konsumentów i przewidzenia, czy dana osoba zdecyduje się na zakup produktu, co pozwala firmom na lepsze planowanie strategii marketingowych. Ponadto, schemat ten jest przydatny w analizie wyników finansowych, gdzie możemy ocenić ryzyko inwestycji i wycenić opcje finansowe.

W psychologii i naukach społecznych, schemat Bernoulliego jest wykorzystywany do badania zachowań i preferencji ludzi. Może być używany do modelowania decyzji podejmowanych przez jednostki w różnych sytuacjach. Przykładowo, możemy wykorzystać schemat Bernoulliego do analizy, czy dana osoba podejmie ryzykowną decyzję w celu osiągnięcia nagrody, czy też będzie unikać ryzyka. Schemat ten pozwala na lepsze zrozumienie motywacji i preferencji ludzi.

W matematyce finansowej, schemat Bernoulliego jest powszechnie stosowany do oceny ryzyka inwestycji i wyceny opcji. Możemy użyć schematu Bernoulliego do modelowania różnych scenariuszy i przewidzenia możliwych wyników finansowych. Na przykład, możemy ocenić prawdopodobieństwo, że inwestycja przyniesie zysk lub stratę w określonym okresie czasu. Dzięki temu możemy podejmować bardziej świadome decyzje inwestycyjne.

Schemat Bernoulliego — artykuły polecane

Prawdopodobieństwo warunkowe — Test Shapiro-Wilka — Estymator nieobciążony — Poziom istotności — Estymator obciążony — Prawdopodobieństwo — Analiza regresji — Mediana wzór — Regresja liniowa

Bibliografia

• A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 2001
• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Koioł L.(2018), Zeszyty naukowe małopolskiej wyższej szkoły ekonomicznej w Tarnowie "Zeszyty naukowe Tarnów, nr.1
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Obra P. Turant J. (2013), Ścisła i przybliżona analiza dynamiczna konstrukcji belkowych z wyostrzeniem metod elementów skończonych, Zeszyty Naukowe WSInf nr 1
• Rudny W. (2016), Emocje w procesach decyzyjnych na rynkach finansowych, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, nr 267
• S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka - elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 1998

Autor: Agnieszka Klozińska, Agnieszka Czyszczoń