Rozkład Poissona

Rozkład Poissona
Polecane artykuły
Zmienna losowa Prawdopodobieństwo warunkowe Rozkład normalny Estymator obciążony Mediana wzór Średnia Przedział ufności Estymator nieobciążony Estymacja

Rozkład Poissona jest jednym z rozkładów zmiennych losowych skokowych. (A. Zeliaś 1996, s. 39) Ma on charakterystyczną własność wiążącą go z rozkładem dwumianowym, gdyż otrzymujemy go biorąc pod uwagę ciąg serii doświadczeń zrealizowanych według schematu Bernoulliego. (J. F. C. Kingman 2002, s. 65) Jest to rozkład asymetryczny. Nazwę wziął od nazwiska osoby, która go wprowadziła. Był to Simeon-Denis Poisson i opisał ten rozkład w swoim dziele: "Procedes des Ragles Generales du Calcul des Probabilites. Bachelier, Imprimeur-Libraire pour les Mathematiques", wydanym w Paryżu w 1837.

Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego dla dużej próby oraz małego prawdopodobieństwa sukcesu.

Należy założyć, w tym przypadku, że liczba doświadczeń n nieograniczenie wzrośnie a równolegle zmaleje prawdopodobieństwo p realizacji zdarzenia "A” w każdej serii doświadczeń. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest bardzo małe, bliskie zera, dlatego nazywamy go często prawem rzadkich zdarzeń lub też prawem małych liczb.

Biorąc pod uwagę zmienną losową X o rozkładzie dwumianowym, a więc mającą wartość k = 0,1,…, n z prawdopodobieństwami:

$P_{n}(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$

Przy czym:

• 0 < p < 1
• $P_{n}(X=k)$ - rozkład dwumianowy określa wystąpienie k razy zdarzenia "A”, w n niezależnych doświadczeniach,
• p - prawdopodobieństwo,
• q - prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

Załóżmy teraz, że w rozkładzie dwumianowym prawdopodobieństwo p jest zależne od n w taki sposób, że podczas zmierzania n do nieskończoności, p zmierza do zera. Mówiąc bardziej szczegółowo, należy założyć, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X liczby realizacji zdarzeń "A” w każdej serii doświadczeń $E(X)=np.={\lambda }>0$.

Oznacza to wielkość stałą, zatem $p={\frac {\lambda }{n}}$. Otrzymujemy w ten sposób przy: n → ∞, p → 0 i np. = λ funkcję prawdopodobieństwa rozkładu Poissona o postaci:

$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$

Przy czym:

• k = 0,1,2,...,n
• λ = np. – wartość oczekiwana.

Powyższy wzór otrzymujemy z relacji $P_{n}(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$ zamiast prawdopodobieństwa p podstawiając ${\frac {\lambda }{n}}$ mamy równanie:

$P(X=k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}({\frac {\lambda }{n}})^{k}(1-{\frac {\lambda }{n}})^{n-k}$

Używając uproszczeń możemy otrzymać:

$P(X=k)={\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{k!}}({\frac {\lambda }{n}})^{k}(1-{\frac {\lambda }{n}})^{n-k}=$ $={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}{\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{k}}}{\frac {(1-{\frac {\lambda }{n}})^{n}}{(1-{\frac {\lambda }{n}})^{k}}}$

W liczniku ułamka drugiego obserwujemy k czynników, gdyż w jego mianowniku występuje $n^{k}$, należy jedynie podzielić przez n każdy z czynników licznika. Drugi ułamek przyjmie wówczas postać:

${\frac {n}{n}}{\frac {n-1}{n}}...{\frac {n-k+1}{n}}=1(1-{\frac {1}{n}})...(1-{\frac {k-1}{n}})$

Każdy z powyższych czynników dąży do 1, gdy n → ∞, co stanowi o dążeniu do jedności całego iloczynu ze skończoną liczbą czynników. Dla n → ∞ mianownik ułamka trzeciego w poprzednim wzorze dąży do 1, ponieważ wykładnik potęgi jest skończony. Aby więc uznać za prawdziwy dany wzór, wystarczy udowodnić, że licznik trzeciego ułamka dąży do $e^{-\lambda }$. Podstawiając ${\frac {-n}{\lambda }}=z$, oraz $n=-{\lambda }z$ uzyskujemy:

$lim(1+{\frac {\lambda }{n}})=lim(1+{\frac {1}{z}})=lim((1+{\frac {1}{z}})^{z})^{-\lambda }=e^{-\lambda }$

• n → ∞,
• z → ∞.

Dzieje się tak ponieważ:

$lim(1+{\frac {1}{z}})^{z}=e$

• z → ∞.

Iloczyn dąży więc do ${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$.

Mówimy, że rozkład Poissona jest rozkładem jednoparametrycznym, gdyż funkcja prawdopodobieństwa zależy od wartości λ. (M. Woźniak 2002, s. 119)

Histogram dla rozkładu Poissona o parametrze równym 3 wygląda następująco:

TL;DR

Rozkład Poissona jest jednym z rozkładów zmiennych losowych skokowych i ma charakterystyczne własności. Jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego dla dużej próby i małego prawdopodobieństwa sukcesu. Rozkład ten znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak statystyka, fizyka, demografia czy ekonometria. Jest również wykorzystywany do modelowania czasu zgłoszeń i obsługi.

Parametry

Rozkład Poissona zależy od jednego parametru λ, będącego zawsze dodatnim. Wartość oczekiwana jest równa E (x) = λ = np, zaś odchylenie standardowe σ(X) = √λ = √np. [A. Zeliaś 1996, s. 41-42]

Najważniejsze parametry przyjmują dla rozkładu Poissona następujące wartości:

Mediana: wynosi około $\lambda +{\frac {1}{3}}+{\frac {0,02}{\lambda }}$

Moda: największa liczba całkowita mniejsza lub równa λ

Wariancja: λ

Skośność: $\lambda ^{\frac {1}{2}}$

Kurtoza: $\lambda ^{-1}$

Własności

Dla λ dążącego do nieskończoności rozkład Poissona może być przybliżony rozkładem normalnym o średniej λ i wariancji λ.

Jeśli zmienne losowe $X_{i}$ mają rozkład Poissona z parametrem $\lambda _{i}$ i są niezależne, to suma N takich zmiennych oznaczona jako Y będzie miała rozkład Poissona o parametrze będącym sumą parametrów zmiennych wchodzących w jej skład, co zapisujemy następująco:

$Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,$

Są stablicowane wartości funkcji prawdopodobieństwa dla różnych λ i różnych n i k. Jeśli więc znamy n i p, możemy korzystając z tablic znaleźć $P_{n}(X=k)$. Powyższe twierdzenie ukazuje, że dla przybliżonego oszacowania prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowym istnieje możliwość posłużenia się rozkładem Poissona. Ma to istotne znaczenie, gdy n jest duże (n ≥ 25, p ≤ 0,02). Poniższa tabela ilustruje zbieżność rozkładu dwumianowego do rozkładu Poissona. [A. Zeliaś 1996, s. 39-41]

Tabela 1. Porównanie wartości funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z wartościami funkcji prawdopodobieństwa rozkładu Poissona [B. Guzik 1993, s. 96]

Zastosowanie

Według K. Zająca rozkład Poissona ma zastosowanie w:

• statystycznym odbiorze towarów,
• statystycznej kontroli jakości produkcji,
• fizyce eksperymentalnej,
• opisywaniu uszkodzeń różnego rodzaju urządzeń,
• demografii,
• opisaniu procesów transportowych. [A. Zeliaś 1996, s. 43].

Rozkład Poissona znajduje zastosowanie m.in. w określaniu następujących zdarzeń (Y. Dodge 2008, s. 426):

• liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną,
• liczba rozmów zarejestrowanych przez centralę,
• liczba wypadków przytrafiających się ubezpieczonej osobie,
• liczba bakterii w preparacie mikroskopowym,

Rozkład ten znajduje także szerokie zastosowanie w ekonometrii, m.in. w modelowaniu patentów, zbrodni czy popytu na usługi medyczne. (W. Greene 2002, s. 856)

Strumień Poissona

Ze względu na prostotę jego matematycznego opisu nazywany jest również strumieniem najprostszym. W przypadku strumienia Poissona rozkład czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami, jest rozkładem wykładniczym z parametrem λ.

Jego gęstość wyraża się wzorem:

ƒ(t)=(λe)^(-λt)

Natomiast dystrybuanta tego rozkładu wyrażona jest zależnością:

F (t)=(1-e)^(-λt)

Strumień Poissona należy do rodziny strumieni rekurencyjnych - strumieni Palma. Są to strumienie pojedyncze i stacjonarne, dla których czasy pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami są zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie f (t). Strumień najprostszy jest zatem szczególnym przypadkiem rozkładu Palma.

Interesującą własnością strumienia Poissona jest możliwość otrzymania różnych strumieni rekurencyjnych poprzez wykonywanie pewnych operacji na strumieniach zgłoszeń: superpozycję, przesiewanie czy też przesiewanie przypadkowe.

Przykładowo dokonując superpozycji dwóch strumieni Poissona o intensywnościach: λ1 i λ2, w rezultacie otrzymamy również strumień Poissona, którego intensywność strumienia wypadkowego λ3 wynosi:

λ3 = λ1 + λ2.

Strumień Poissona nie jest tylko wykorzystywany do modelowania rozkładu czasu zgłoszeń przychodzących, ale jest on także wykorzystywany do wyznaczania czasów obsługi tych zgłoszeń. W wielu modelach klas ruchu występuje zatem "poissonowski” strumień obsługi.

Bibliografia

• Dodge Y., (2008), The Concise Encyclopedia of Statistics, Springer, New York
• Greene W. H., (2002), Econometric Analysis (Fifth Edition), Prentice Hall, New Jersey
• Kingman J. F. C., (2002), Procesy Poissona, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Steczkowski J., Woźniak M., Zając K., Zeliaś A., (1996), Statystyka matematyczna w zastosowaniach, Wydawnictwo AE, Kraków
• Woźniak M., (2002), Statystyka opisowa, Wydawnictwo AE, Kraków

Autor: Paweł Fiedor, Sylwia Gęborys, Kinga Węgrzyn