Estymator dostateczny

Estymator jest uznawany za dostateczny (wystarczający) w momencie, gdy wykorzystuje on wszystkie informacje o szacowanym parametrze, które są zawarte w danych (w próbie)

Pojęcie to zostało wprowadzone przez znakomitego angielskiego matematyka R.A. Fishera. Przez estymator dostateczny parametru 0, rozumiemy taki estymator, który skupia w sobie wszystkie informacje o parametrze 0 zawarte w próbie losowej, co za tym idzie żaden inny estymator nie zawiera w sobie więcej informacji o parametrze 0 wyciągniętej z n-elementowej próby losowej.

W przypadku dla rozkładu ciągłego populacji (identycznie można postąpić dla rozkładu skokowego - używając funkcji prawdopodobieństwa) f (x,0) jest funkcją gęstości rozkładu populacji, a h (Zn,0) jest funkcją gęstości rozkładu estymatora Zn parametru 0, to dokładniejszą definicję estymatora dostatecznego możemy sformułować w następujący sposób:

Estymator Zn nazywany estymatorem dostatecznym (wystarczającym) parametru 0, jeżeli można ze względu na niego dokonać tzw. Faktoryzacji (rozłożenia na iloczyn) łącznej funkcji gęstości f (x) wektora wyników próby x=(x1, x2,...., xn) tzn. Jeżeli

f (x,0) = h (Zn,0) * g (x, Zn)

gdzie g (x, Zn)jest pewną funkcją wyników próby x zależną od wartości estymatora Zn, lecz niezależną od szacowanego parametru 0.

Własności estymatora dostatecznego

Estymator dostateczny jest to statystyka, która w pełni wykorzystuje całą dostępną informację w próbie losowej na temat badanego parametru populacyjnego. Oznacza to, że estymator dostateczny zawiera wszystkie niezbędne informacje do wykonywania estymacji, a inne statystyki z próby nie dodają dodatkowej informacji. Estymator dostateczny jest kluczowy w analizie danych, ponieważ pozwala na efektywne wykorzystanie informacji z próby, co prowadzi do bardziej precyzyjnych estymacji parametrów populacji.

Estymator dostateczny jest nieobciążony, co oznacza, że jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru populacyjnego. To ważne, ponieważ oznacza, że estymator dostateczny jest wiarygodny i nie wprowadza systematycznego błędu w estymacji. Nieobciążoność estymatora dostatecznego ma pozytywny wpływ na jakość estymacji, ponieważ eliminuje zniekształcenia wynikające z systematycznego błędu.

Estymator dostateczny ma skończoną wariancję, co oznacza, że rozproszenie estymatora jest ograniczone. Jest to pożądana własność, ponieważ mniejsza wariancja estymatora oznacza większą precyzję estymacji. Skończona wariancja estymatora dostatecznego umożliwia również skonstruowanie przedziałów ufności, które są przydatne w analizie danych.

Minimalna wariancja estymatora dostatecznego to najmniejsza możliwa wariancja wśród wszystkich estymatorów dostatecznych dla danego parametru populacji. Jest to ważne, ponieważ estymator o minimalnej wariancji jest najbardziej precyzyjny spośród wszystkich estymatorów dostatecznych. Oznacza to, że ma najmniejszy rozrzut i daje najbardziej zbliżone estymacje do prawdziwej wartości parametru populacji.

Jednym z przykładów estymatora dostatecznego o minimalnej wariancji jest estymator najmniejszej wariancji (MLE). MLE jest estymatorem dostatecznym, który minimalizuje wariancję estymacji dla danego parametru populacji. Innym przykładem jest estymator optymalny w sensie maksymalnej wiarygodności, który jest estymatorem dostatecznym, dającym największą wiarygodność estymacji.

Przykłady estymatorów dostatecznych

W przypadku rozkładu normalnego estymatorem dostatecznym jest średnia arytmetyczna próby. Jest to dostateczny estymator, ponieważ informacja o wartościach próby jest w pełni wykorzystana w estymacji parametru średniej populacji.

W przypadku rozkładu dwumianowego estymatorem dostatecznym jest liczba sukcesów w próbie. Jest to dostateczny estymator, ponieważ zawiera pełną informację o liczbie sukcesów i niezależnie od tego, jakie wartości przyjmuje próba, estymator ten daje pełną informację o parametrze sukcesu.

W przypadku rozkładu Poissona estymatorem dostatecznym jest suma zdarzeń w próbie. Jest to dostateczny estymator, ponieważ zawiera pełną informację o liczbie zdarzeń i niezależnie od tego, jakie wartości przyjmuje próba, estymator ten daje pełną informację o parametrze rozkładu Poissona.

Estymator o największej wiarogodności (MLE) jest estymatorem dostatecznym, ponieważ maksymalizuje funkcję wiarogodności, która jest miarą prawdopodobieństwa uzyskania próby o wartościach obserwowanych. MLE wykorzystuje pełną informację zawartą w próbie, co czyni go estymatorem dostatecznym.

W przypadku rozkładu jednostajnego estymatorem dostatecznym jest maksimum i minimum próby. Dla rozkładu wykładniczego estymatorem dostatecznym jest największa obserwacja próby. W obu przypadkach estymatory dostateczne zawierają pełną informację o parametrach rozkładu i umożliwiają precyzyjną estymację.

Zastosowania estymatorów dostatecznych

W ekonomii estymatory dostateczne są szeroko stosowane do estymacji elastyczności popytu lub podaży. Estymator dostateczny umożliwia precyzyjną estymację tych parametrów, co pozwala na lepsze zrozumienie zachowań rynkowych i podejmowanie odpowiednich decyzji ekonomicznych.

W medycynie estymatory dostateczne są używane do szacowania efektów leczenia lub wpływu czynników ryzyka na zdrowie. Estymatory dostateczne pozwalają na precyzyjne oszacowanie tych efektów, co jest istotne dla podejmowania decyzji medycznych i oceny skuteczności interwencji.

W inżynierii estymatory dostateczne są stosowane do estymacji niezawodności systemów lub szacowania parametrów w modelach matematycznych. Estymatory dostateczne pozwalają na precyzyjne oszacowanie tych parametrów, co jest ważne dla projektowania, analizy i optymalizacji systemów inżynieryjnych.

W naukach społecznych estymatory dostateczne są wykorzystywane w badaniach ankietowych lub analizie zachowań społecznych. Estymatory dostateczne umożliwiają precyzyjne estymacje parametrów społecznych, co jest niezbędne do badania i zrozumienia zachowań społecznych oraz podejmowania odpowiednich działań.

Wykorzystanie estymatorów dostatecznych w analizie danych przynosi wiele korzyści. Daje większą precyzję estymacji, ponieważ wykorzystuje pełną informację zawartą w próbie losowej. Dodatkowo, estymatory dostateczne umożliwiają uwzględnienie wszystkich informacji z próby, co prowadzi do bardziej trafnych i wiarygodnych wyników analizy danych.

Estymator dostateczny — artykuły polecane

Algorytmy szyfrowania — Teoria informacji — Wnioskowanie statystyczne — Wartość oczekiwana — Dystrybuanta rozkładu normalnego — Zmienna losowa — Parametr — Aktualność informacji — Niepewność pomiaru

Bibliografia

• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• "Statystyka matematyczna" Jerzy Greń s. 236

Autor: Hubert Gąsienica