Dystrybuanta rozkładu normalnego

Dystrybuanta rozkładu normalnego
Polecane artykuły
Wartość bezwzględna Przedział ufności Estymacja Średnia Rozkład normalny Współczynnik korelacji rang Spearmana Dominanta Zmienna losowa Kowariancja

Dystrybuanta to funkcja, która w sposób jednoznaczny wyznacza rozkład zmiennej losowej.
Formalnie dystrybuanta \(F\) w punkcie \(x \in\mathbb{R}\) jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa \(X\) ma wartości mniejsze bądź równe \(x\), co można zapisać w następujący sposób: \[F (x) = P (X \le x) \] dla \(x \in\mathbb{R}. \)

W literaturze występuje również definicja z użyciem silnej nierówności czyli: \[F (x) = P (X < x) \] dla \( x \in\mathbb{R}.\)
W dalszej części artykułu przyjmować będziemy pierwszą definicję, gdyż przyjęcie jednej z definicji pociąga za sobą odpowiednie własności dystrybuanty.

Związek dystrybuanty z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

Dystrybuanta rozkładu normalnego określona jest poniższym wzorem: \[P (X \le x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} } e^\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\, dx\] dla \(x \in\mathbb{R}. \)

Wzór ten jest konsekwencją następującego faktu:
Dla rozkładów bezwzględnie ciągłych, czyli rozkładów posiadających funkcję gęstości, a takim rozkładem jest rozkład normalny, dystrybuantę można zapisać w postaci całki: \[F (x) = \int\limits_{-\infty}^{x}f (t)\, dt\] dla \(x \in\mathbb{R}. \)
Biorąc pod uwagę, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego wyrażona jest wzorem: \[f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\left (\frac {-(x-\mu)^2} {2\sigma^2}\right)\] otrzymujemy podany wyżej wzór na dystrybuantę rozkładu normalnego.

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego, zwyczajowo oznaczana symbolem \(\Phi\), może być wyrażona poniższym wzorem: \[\Phi (z) = \int\limits_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{z^2}{2}}\, dz.\]

Dystrybuanty rozkładu normalnego nie da się przedstawić w sposób jawny za pomocą funkcji elementarnych. Jednakże istnieje związek między dystrybuantą rozkładu normalnego o dowolnych parametrach a dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, zależność ta wyrażona jest następującym równaniem: \[P (X \le x) = \Phi\left (\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]

Standardowy rozkład normalny jest rozkładem stablicowanym, zatem tablice statystyczne zawierają wartości dystrybuany dla rozkładu \(\mathcal N (0,1)\).

Własności

1. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, innymi słowy dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2. Skoro dystrybuantę definiujemy jako prawdopodobieństwo, to zbiorem wartości tej funkcji jest przedział od 0 do 1.
3. Proste \(y=0\) oraz \(y=1\) to asymptoty poziome dystrybuanty rozkładu normalnego.
4. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest funkcją ciągłą na zbiorze liczb rzeczywistych.
5. Kolejną własnością dystrybuanty rozkładu normalnego jest monotoniczność. Funkcja ta jest ściśle rosnąca, czyli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in\mathbb{R}\), jeżeli \(x_1 < x_2\), to spełniony jest następujący warunek \(F (x_1) < F (x_2)\).

Bibliografia

• Diez D.M., Barr C.D., Çetinkaya-Rundel M. (2015). OpenIntro Statistics: Third Edition., OpenIntro, s. 127-140
  
• Hellwig Z. (1998). Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  
• Ostasiewicz W. (2012). Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer, Warszawa
  

Przypisy

Autor: Angelika Jurek