Kurtoza

Kurtoza jest to względna miara koncentracji i spłaszczenia rozkładu (termin stosowany w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa). Określa rozmieszczenie i koncentrację wartości (zbiorowości) w pobliżu średniej. Występuje on w postaci stosującej moment centralny czwartego rzędu: $K={\frac {m_{4}}{s^{4}}}$

Gdzie:

• $m_{4}$ oznacza moment centralny rzędu czwartego
• $s^{2}$ jest odchyleniem standardowym podniesionym do czwartej potęgi.

Dla szeregu szczegółowego, prostego: $M_{4}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}$

Kurtoza z próby dla szeregu rozdzielczego punktowego: $M_{4}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}f_{i}$

Gdzie:

• $x_{i}$ to i-ta wartość cechy,
• ${\overline {x}}$ to średnia z próby,
• $n$ to liczebność z próby.

Kurtoza z próby dla szeregu przedziałowego do wzoru powyższego należy wprowadzić środki przedziałów losowych.

Miara spłaszczenia rozkładu częstości, czyli kurtoza może być obliczana jako wartość absolutna lub wartość względna. Kurtoza absolutna jest zawsze liczbą nieujemną, natomiast kurtoza względna może przyjmować zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie. Wartości dodatnie charakteryzują rozkłady bardziej spiczaste w porównaniu do rozkładu normalnego, czyli są tzw. leptokurtyczne. Wartości ujemne charakteryzują rozkłady bardziej spłaszczone niż rozkłady normalne i są nazywane platokurtycznymi (A. D. Aczel, 2018, s. 51-52)

Kurtoza jest szczególnie przydatna, gdy analizujemy dane finansowe, np. zwroty z inwestycji. Jeśli rozkład zwrotów ma wysoką kurtozę, oznacza to, że inwestycje zwykle mają tendencję do skupiania się wokół pewnych wartości, co może sugerować większe ryzyko. Z drugiej strony, jeśli rozkład ma niską kurtozę, inwestycje mają tendencję do generowania bardziej równomiernych zwrotów, co może wskazywać na mniejsze ryzyko.

Wartość kurtozy jest również użyteczna w naukach społecznych, takich jak ekonomia czy psychologia. Może pomóc w badaniu różnych zjawisk, takich jak dochody, zachowania konsumentów czy preferencje wyborcze. Dzięki kurtozie możemy lepiej zrozumieć, czy dane zjawisko jest bardziej skoncentrowane wokół średniej, czy też ma większy rozrzut wartości.

W praktyce, wartość kurtozy jest porównywana do kurtozy rozkładu normalnego, który ma wartość zero. Jeśli wartość kurtozy jest większa od zera, oznacza to, że rozkład jest bardziej szpiczasty (ostrzejszy) niż rozkład normalny. Jeśli wartość kurtozy jest mniejsza od zera, oznacza to, że rozkład jest bardziej spłaszczony (płaski) niż rozkład normalny.

Im wyższa kurtoza tym większe skupienie zbiorowości wokół wartości średniej, co daje wyraz w większej smukłości krzywej rozkładu. Mała jej wartość daje efekt odwrotny czyli większy rozrzut wartości, słabą koncentrację i, co za tym idzie, spłaszczenie krzywej liczebności.

Dla rozkładu normalnego przyjmuje się wartość kurtozy równą 3, dla wartości większych od 3 rozkład jest bardziej wysmukły a dla wartości mniejszych bardziej spłaszczony.

Często stosuje się inną formułę obliczania kurtozy ze względu na podane powyżej zależności od wartości 3. W ramach udogodnienia sprowadzono wzór do postaci, dla której kurtoza rozkładu normalnego przyjmuje wartość 0, nosi on nazwę współczynnika ekscesu $K={\frac {m_{4}}{s^{4}}}-3$

Tutaj interpretacja jest podobna:

• dla K=0 rozkład ma kształt normalny (rozkład mezokurtyczny),
• dla K>0 rozkład jest bardziej wysmukły niż normalny (rozkład leptokurtyczny), większe skupienie wartości wokół średniej,
• dla K<0 rozkład jest mniej wysmukły niż normalny (rozkład platykurtyczny), większe spłaszczenie rozkładu.

Wraz ze wzrostem liczebności prób różnice między wartościami ocen estymatorów obciążonych i nieobciążonych stają się nieistotne i zmierzają do zera. Można zatem wysnuć wniosek, że przy dużych próbach nie ma znaczenia czy korzystamy ze wzoru na estymator obciążony czy nieobciążony (D. Witkowska, 2016, s. 35)

Z obliczania kurtozy często korzystają inwestorzy, ponieważ daje ona informacje o ryzyku i stopie zwrotu z inwestycji. Wysoka kurtoza stopy zwrotu zwiększa prawdopodobieństwo osiągnięcia wyższej wartości stopy zwrotu z inwestycji. Zatem inwestorzy są skłonni zapłacić więcej za inwestycje o rozkładzie leptokurtycznym, niż za inwestycje o rozkładzie platykurtycznym. Poznanie rzeczywistego rozkładu stopy zwrotu danej inwestycji pozwala na lepsze zarządzanie ryzykiem oraz portfelem inwestora, a także pozwala skonstruować w jakim przedziale inwestor może oczekiwać stopy zwrotu (W. Dębski, 2014, s. 616-618)

Estymator nieobciążony kurtozy jest określony następującym wzorem:

$K={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i=1}^{N}({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}})^{4}-{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}$

Interpretacja wartości kurtozy

Kurtoza dla rozkładu normalnego

Dla rozkładu normalnego wartość kurtozy wynosi 3. Jest to wartość referencyjna, która oznacza, że rozkład jest "normalny" - posiada symetryczną krzywą i nie ma nadmiernego skupienia wartości wokół średniej.

Jeśli wartość kurtozy jest większa od 3, to oznacza, że rozkład ma "grubsze" ogony niż rozkład normalny. Jest to nazywane "grubym ogonem" i oznacza, że istnieje większe prawdopodobieństwo wystąpienia ekstremalnych wartości.

Natomiast jeśli wartość kurtozy jest mniejsza od 3, to oznacza, że rozkład ma "cienkie" ogony. To oznacza, że rozkład jest bardziej skupiony wokół średniej i ma mniejsze prawdopodobieństwo wystąpienia ekstremalnych wartości.

Wpływ wartości kurtozy na rozkład wartości

Wartość kurtozy ma wpływ na kształt rozkładu wartości. Wysoka kurtoza oznacza, że rozkład ma bardziej szpiczastą i asymetryczną krzywą. Niska kurtoza oznacza, że rozkład ma bardziej płaską i symetryczną krzywą.

Wysoka kurtoza może wskazywać na występowanie ekstremalnych wartości, co może być istotne w niektórych dziedzinach, takich jak finanse, gdzie wystąpienie ekstremalnych zdarzeń może prowadzić do znacznych strat.

Niska kurtoza sugeruje, że dane są bardziej skoncentrowane wokół średniej, co może wskazywać na większą stabilność i mniejsze ryzyko wystąpienia ekstremalnych zdarzeń.

Skupienie wartości wokół średniej i smukłość krzywej rozkładu

Wartość kurtozy jest również związana z pojęciami skupienia wartości wokół średniej i smukłości krzywej rozkładu. Dla wysokiej kurtozy, krzywa rozkładu jest bardziej szpiczasta, co oznacza większe skupienie wartości wokół średniej. Dla niskiej kurtozy, krzywa rozkładu jest bardziej płaska, co oznacza mniejsze skupienie wartości.

Skupienie wartości wokół średniej ma znaczenie w wielu dziedzinach, takich jak analiza ryzyka finansowego, gdzie mniejsze skupienie może oznaczać większe ryzyko. Smukłość krzywej rozkładu może wskazywać na stabilność i przewidywalność danych.

Kurtoza w analizie portfeli inwestycyjnych

Dywersyfikacja ryzyka

Dywersyfikacja ryzyka jest jednym z kluczowych celów inwestorów, którzy dążą do minimalizacji ryzyka inwestycyjnego. Kurtoza, jako miara rozkładu prawdopodobieństwa, może pełnić istotną rolę w analizie portfeli inwestycyjnych pod kątem dywersyfikacji ryzyka.

Przed dokonaniem oceny ryzyka poszczególnych aktywów w portfelu, warto najpierw zdefiniować pojęcie kurtozy. Kurtoza jest miarą, która opisuje kształt rozkładu prawdopodobieństwa danego zbioru danych. W przypadku analizy portfeli inwestycyjnych, kurtoza pozwala ocenić, jak bardzo rozkład zwrotów z poszczególnych aktywów różni się od rozkładu normalnego.

Wykorzystując kurtozę, inwestorzy mogą określić, jakie są szanse na wystąpienie ekstremalnych wartości zwrotów z poszczególnych aktywów. Jeśli kurtoza jest wysoka, oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa jest bardziej skupiony wokół wartości średniej, a wystąpienie ekstremalnych wartości jest bardziej prawdopodobne. Natomiast niska kurtoza wskazuje na bardziej równomierny rozkład wartości.

Znając kurtozę poszczególnych aktywów w portfelu, inwestorzy mogą ocenić, jakie ryzyko niesie ze sobą posiadanie danego aktywu w portfelu. Aktywo o wysokiej kurtozie może być bardziej ryzykowne, ponieważ wystąpienie ekstremalnych wartości jest bardziej prawdopodobne. Z kolei aktywo o niskiej kurtozie może być bardziej stabilne i mniej podatne na wystąpienie ekstremalnych zdarzeń.

Optymalizacja alokacji kapitału na podstawie kurtozy

Kurtoza może być również wykorzystana do optymalizacji alokacji kapitału w portfelu inwestycyjnym. Optymalizacja polega na znalezieniu takiego połączenia aktywów, które minimalizuje ryzyko przy określonym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu.

Dzięki kurtozie inwestorzy mogą uwzględnić preferencje dotyczące ryzyka i zysku. Na podstawie kurtozy poszczególnych aktywów w portfelu można obliczyć kurtozę całego portfela. Następnie można przeprowadzić analizę optymalizacyjną, aby znaleźć taką kombinację aktywów, która minimalizuje kurtozę portfela.

Optymalizacja alokacji kapitału na podstawie kurtozy pozwala inwestorom na zrównoważenie ryzyka i zysku. Dzięki temu można stworzyć portfel, który jest bardziej odporny na zmienne warunki rynkowe i może generować stabilne zwroty.

Porównywanie różnych rozkładów wartości

Kolejnym zastosowaniem kurtozy w analizie portfeli inwestycyjnych jest porównywanie różnych rozkładów wartości. Kurtoza jest przydatna, gdy inwestorzy chcą porównać dwa lub więcej rozkładów wartości pod kątem skupienia i występowania ekstremalnych wartości.

Kurtoza umożliwia porównanie skupienia wartości w różnych rozkładach. Wyższa kurtoza oznacza, że rozkład jest bardziej skupiony wokół wartości średniej, podczas gdy niższa kurtoza wskazuje na bardziej równomierny rozkład.

Ponadto, kurtoza pozwala ocenić występowanie ekstremalnych wartości w poszczególnych rozkładach. Wysoka kurtoza wskazuje na większe prawdopodobieństwo wystąpienia ekstremalnych wartości, podczas gdy niska kurtoza sugeruje mniejsze ryzyko wystąpienia takich wartości.

Kurtoza umożliwia również porównywanie wartości kurtozy różnych rozkładów. Porównanie kurtozy może być przydatne, gdy inwestorzy chcą ocenić, który rozkład jest bardziej skupiony lub bardziej podatny na wystąpienie ekstremalnych wartości.

Porównując wartości kurtozy różnych rozkładów, inwestorzy mogą dokonać bardziej świadomego wyboru, jeśli chodzi o inwestowanie w aktywa o określonym rozkładzie wartości. Na podstawie analizy kurtozy mogą zdecydować, które aktywa są bardziej atrakcyjne z punktu widzenia minimalizacji ryzyka i maksymalizacji zysku.

Kurtoza — artykuły polecane

Metody statystyczne — Percentyl — Średnia — Rozstęp — Rozkład normalny — Wariancja — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Test zgodności chi-kwadrat — Dominanta

Bibliografia

• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Budny K. (2015), Wybrane własności kurtozy wektora losowego, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie
• Dębski W. (2014), Rynek finansowy i jego mechanizmy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Górka J. (2007), Kurtoza w procesach generowanych przez model RCA GARCH
• Sobczyk M. (2007), Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Warsza Z., Korczyński M. (2014), Statystyki skośności i kurtozy małych próbek pomiarowych z populacji o rozkładzie normalnym i kilku innych, Wydawnictwo PAK, nr 12
• Witkowska D. (2016), Zmiana warunków funkcjonowania a efektywność inwestycyjna otwartych funduszy emerytalnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź
• Woźniak M. (red.) (1997), Statystyka opisowa, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków
• Zając K. (1994), Zarys metod statystycznych, Wydawnictwo PWE, Warszawa
• Zeliaś A. (2001), Metody statystyczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa

Autor: Sebastian Głuszek, Magdalena Rzepiszczak