Błąd względny

Błąd względny
Polecane artykuły
Błąd bezwzględny Współczynnik determinacji Skala interwałowa Saldo migracji Krzywa wzorcowa ANOVA Poziom istotności Analiza regresji Średnia geometryczna

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru (L. Czopek 1994, s. 172). Jest on wielkością mianowaną.

$\delta _{x}={\frac {\Delta x}{x_{0}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{0}}}$

gdzie:

x₀ – wartość mierzona,

Δx – błąd bezwzględny.

Błąd względny najczęściej jednak wyrażony jest w procentach, wtedy nazywany jest błędem procentowym (H. Szydłowski 1973, s. 41).

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ð = \frac {∆x*100 \%}{x} }

gdzie:

ð - błąd procentowy

Δx- błąd bezwzględny

x₀- wynik pomiaru.

Wyznaczona wartość błędu procentowego jest sama w sobie nie wartościowa, dlatego aby uzyskać pełną informację o wartości dokonanego pomiaru podaje się łącznie: wynik pomiaru i błąd procentowy (H. Szydłowski 1973, s. 41).

TL;DR

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru, zwykle wyrażany w procentach. Jest używany w różnych dziedzinach, takich jak matematyka, ekonomia, metrologia i geodezja. Błąd względny pozwala ocenić jakość pomiaru i estymację. W geodezji błąd względny jest używany do opisania błędów pomiarów związanych z niedoskonałościami przyrządów i innych czynników. Różnica między błędem względnym a błędem bezwzględnym polega na wartościowości wyniku pomiaru.

Błąd względny w matematyce

"Niech a będzie przybliżeniem liczby x.(...) Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej liczby x nazywamy błędem względnym:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ð=\frac{|x-a|}{|x|} }

Błąd względny często wyrażany jest w procentach" (W. Babiański 2009, s. 78).

Przykład 1.

Państwo Kowalscy zaplanowali remont mieszkania, na który przeznaczyć chcieli 10 000 zł, z kolei na zakup nowego telewizora zamierzali wydać 1100 zł. W rzeczywistości jednak remont mieszkania wyniósł 10300 zł, a nowy telewizor kosztował 1400 zł. W obu wypadkach, pomyli się w szacowaniu kosztów o 300 zł (błąd bezwzględny). Podaj w procentach błąd względny, popełniony przy estymacji wydatków.

Rozwiązanie:

Remont mieszkania

x- 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ð_{x} = \frac{300*100\%}{10300} = 2,91 \% }

Nowy telewizor

x- 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ð_{x} = \frac{300*100\%}{1400} =21,43 \% }

Błąd względny w ekonomii

W celu wstępnej analizy odchyleń kosztów rzeczywistych w stosunku do przyjętej bazy odniesienia, jako jednego z elementów analizy ekonomiczno- finansowej firmy, wykorzystuje się odchylenia. Dzielą się one na odchylenia bezwzględne i względne.

Odchylenie względne (ΔK_w) można wyznaczyć za pomocą wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ΔK_w= K_1- K_o* \frac{P_1}{P_o} }

gdzie:

ΔK_w– odchylenie względne,

K₁ - koszty okresu badanego,

K₀ - koszty okresu bazowego,

P₁ - przychody okresu badanego,

P₀ - przychody okresu bazowego.

Względne odchylenie kosztów daje możliwość oceny wpływu na koszty zmian rozmiarów działalności gospodarczej (produkcji, sprzedaży, przychodów). Może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne. Dodatni wynik informuje o względnym wzroście kosztów, ujemny natomiast o względnej obniżce kosztów (Z. Leszczyński 2000, s. 238).

Błąd względny w metrologii

Wszystkie przyrządy pomiarowe charakteryzują się ograniczoną dokładnością materiałową, wynikającą z właściwości materiałów wykorzystanych do ich budowy. Dokładność tych przyrządów opisywana jest za pomocą błędu granicznego, który wyznacza największą wartość błędu wskazania, mogącą wystąpić w dowolnym punkcie zakresu pomiarowego przyrządu w przypadku jego poprawnego użytkowania w warunkach odniesienia. Najważniejszymi parametrami dotyczącymi warunków odniesienia są: temperatura, ciśnienie, wilgotność, brak wstrząsów, wibracji i innych zakłóceń (np. elektromagnetycznych) (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Błąd pomiaru przyrządem analogowym zależny od jego klasy dokładności (K) oraz zakresu pomiarowego (Z). Względny błąd graniczny można wyznaczyć za pomocą wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \delta_{gr}= \frac {∆X*100 \%}{x} }

gdzie:

ΔX – wartość bezwzględnego błędu pomiarowego,

x - wynik pomiaru,

ð_gr -względny błąd graniczny

Wiedząc, że błąd bezwzględny ΔX opisany jest za pomocą wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ∆X= \frac {K*Z}{100} }

gdzie:

K- klasa narzędzia pomiarowego,

Z- zakres narzędzia pomiarowego,

po podstawieniu otrzymujemy:

$\delta _{gr}={\frac {K*Z*100\%}{x}}$

Mając na uwadze, że wartość bezwzględnego błędu granicznego jest stała, względny błąd graniczny, będący stosunkiem bezwzględnego błędu granicznego do wartości mierzonej x, maleje wraz ze wzrostem tej wartości. Z tejże przyczyny zakres przyrządu musi być dobrany w taki sposób, żeby wychylenie wskazówki znajdowało się w części podziałki powyżej ½ zakresu (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Przykład 2.

Woltomierzem o zakresie pomiarowym 150V i klasie dokładności 0,2 zmierzono napięcie na rezystorze, które wyniosło 120V. Obliczyć błąd względny pomiaru.

Rozwiązanie:

Z- 150 V

K- 0,2

X- 120 V

$\delta _{gr}={\frac {K*Z*100\%}{x}}$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ∆P =100\%* \frac{0,2*150\%}{120} = 25% }

Zatem błąd względny pomiaru wynosi 25%.

Błąd względny w geodezji

W geodezji wyniki pomiarów, zwane także obserwacjami, lub spostrzeżeniami (oznaczane L₁, L₂,...L_n) zawsze obarczone są błędami, które wynikać mogą z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów obserwatora czy też zmienności warunków środowiskowych i atmosferycznych w czasie dokonywania pomiaru. Z tego też powody, wielkości tych pomiarów są jedynie wartościami przybliżonymi do wartości prawdziwych wielkości mierzonych (nieznanych). Ze względu na źródła występowania rozróżnia się trzy grupy błędów:

• błędy grube,
• błędy systematyczne,
• błędy losowe.

Inną typologią błędów jest:

• błąd prawdziwy \epsilon, czyli różnica wartości zmierzonej L_o i wartości prawdziwej spostrzeżenia X

ɛ= L_o-X

• błąd pozorny spostrzeżenia "-v” to różnica wartości zmierzonej i wartości wyrównanej spostrzeżenia L_w
• v = L_w – L_o

Z kolei błędy charakteryzujące dokładność obserwacji to:

• błąd absolutny m_a przypadający na całą nieznaną wielkość,
• błąd względny m_w przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości d. Błąd ten wyrażony jest za pomocą wzoru:

$m_{w}={\frac {m_{a}}{d}}$

• błąd średni pojedynczego spostrzeżenia m, obliczony na podstawie błędów prawdziwych

$m={\sqrt {\frac {\epsilon \epsilon }{n}}}$

gdzie "n” - liczba błędów prawdziwych = liczba spostrzeżeń. Niemniej jednak, ten wzór jest rzadko stosowany, ponieważ rzadko kiedy istnieje możliwość określenia błędów prawdziwych. W związku z tym, średni błąd spostrzeżenia obliczany jest na podstawie błędów pozornych

$m={\sqrt {\frac {v*v}{n-1}}}$

• błąd graniczny g- wyznacza maksymalną wartość błędu dopuszczalnego dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego, czyli g = 3 m

W praktyce przyjmuje się jednak, że g znajduje się w przedziale: 2 m ≤ g ≤ 3 m (L. Wiatr 2007, s. 7-9).

Przykład 3.

Zmierzono długość L=300 m ze średnim błędem m = ±3 cm. Oblicz błąd względny tej długości (L. Wiatr 2007, s. 11).

$m_{v}={\frac {m}{L}}$

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m_v= \frac{± 3cm}{300m}=\frac {± 3cm}{30000cm}=± \frac {1}{10000}=± 0,0001 }

Różnica między błędem względnym a błędem bezwzględnym

Podstawowym czynnikiem różnicującym błąd względny od błędu bezwzględnego jest wartościowość uzyskanego wyniku. Błąd względny w przeciwieństwie do błędu bezwzględnego pozwala na zinterpretowanie badanego zjawiska, określa jego jakość (Fiałkowska M. 2009, s. 338-339).

Bibliografia

• Babiański W. (2009) Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. Nowa Era, Warszawa
• Burnos P. (2010) Laboratorium metrologii AGH. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych. AGH, Kraków
• Czopek L. (red.) (1994) Popularna Encyklopedia Powszechna. Tom 2. B. Fogra Oficyna Wydawnicza, Kraków
• Fiałkowska M., Fiałkowski K., Saganowska B. (2009) Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych. ZamKor, Kraków
• Leszczyński Z., Skowronek- Mielczarek A. (2000) Analiza ekonomiczno- finansowa firmy. Diffin, Warszawa
• Szydłowski H. (1973) Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa
• Wiatr L. (2007) Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311.10.Z1.07. Poradnik dla ucznia. Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom

Autor: Katarzyna Kolano