Prawo wielkich liczb

Prawo wielkich liczb - seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.

Prawa Bernoulliego

W książce Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:

• Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Niech $S_{n}$ oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego $n$ prób, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe $p$, to dla każdego $\varepsilon >0$ $\lim _{n\to \infty }P(|{\frac {S_{n}}{n}}-p|\leqslant \varepsilon )=1$.

• Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli $S_{n}$ oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego $n$ prób, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe $p$. Wtedy $P$-prawie wszędzie ${\frac {S_{n}}{n}}\to p$, gdy $n\to \infty$. Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.

Prawa Markowa

Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń :

• mówimy, że ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ jest zbieżny do $C$ według prawdopodobieństwa, gdy dla każdego $\varepsilon >0$ zachodzi: $P(|{\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}-C|>\varepsilon )\to 0{\textit {dla}}n\to +\infty ,$
• mówimy, że ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ jest zbieżny do $C$ z prawdopodobieństwem jeden (prawie na pewno), gdy:

$P\{\omega ;{\frac {X_{1}(\omega )+X_{2}(\omega )+\dots +X_{n}(\omega )}{n}}\to C\}=1.$

1. Ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ spełnia słabe prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała $C$ taka, że według prawdopodobieństwa: ${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to _{p}C{\textit {dla}}n\to +\infty .$
2. Ciąg zmiennych losowych $X_{1},X_{2},...$ spełnia mocne prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała $C$ taka, że: ${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to C{\textit {dla}}P{\textit {-prawienapewno}}.$

Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi

MPWL, czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida :

• Ciąg $X_{1},X_{2},\dots$ oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli $E|X|<+\infty$ to:

${\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\to EX_{1},{\textit {gdzie}}P{\textit {-prawiewszedzie.}}$

• To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że $P(\limsup _{n}{\frac {|X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}|}{n}}<+\infty )>0$ wynika: $E|X|<+\infty {\textit {isredniesazbiezneprawiewszedziedo}}EX_{1}.$

Zastosowanie prawa wielkich liczb

Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich :

• metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
• wyliczanie dystrybuanty empirycznej.
• dowodzenie twierdzeń dotyczących teorii liczb.
• w statystyce. Zgodnie z prawem wielkich liczb wnioski o konkretnej grupie można wyciągnąć tylko na podstawie odpowiednio dużej próby. Im próba jest większa tym bardziej wynik powinien zbliżać się do wartości przeciętnej.

Przypisy

Prawo wielkich liczb — artykuły polecane

Błąd bezwzględny — Błąd względny — Współczynnik determinacji — ANOVA — Wariancja składnika resztowego — Estymator — Regresja liniowa — Dominanta — Rozkład normalny

Bibliografia

• Feller W. (2008), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Hand D. (2014), Zasada nieprawdopodobieństwa. Dlaczego codziennie zdarzają się cuda, zbiegi okoliczności, rzadkie wydarzenia, Grupa Wydawnicza Foksal, Warszawa
• Jakubowski A. (2011), Statystyka i eksploracja danych Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa, Wydawca: UMK Toruń, Toruń
• Jakubowski J. (2010), Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Script, Warszawa
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Nawrocki J., Winnicki A., (2010), Matematyka cz.5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej, Politechnika Warszawska, Warszawa
• Seneta E., (2006), A Tricentenary history of the Law of Large Numbers, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia

Autor: Mariola Klaś