Prawo wielkich liczb: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
m (cleanup bibliografii i rotten links)
m (Czyszczenie tekstu)
Linia 13: Linia 13:
</ul>
</ul>
}}
}}
'''[[Prawo]] wielkich liczb''' – seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.
'''[[Prawo]] wielkich liczb''' - seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.


== Prawa Bernoulliego ==
==Prawa Bernoulliego==
W książce ''Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa'' <ref>J. Jakubowski (2001) s.154,155</ref> autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:
W książce ''Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa'' <ref>J. Jakubowski (2001) s.154,155</ref> autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:
* '''Prawo wielkich liczb Bernoulliego'''
* '''Prawo wielkich liczb Bernoulliego'''
Linia 23: Linia 23:
Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.
Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.


== Prawa Markowa ==
==Prawa Markowa==
<google>t</google>
<google>t</google>
Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń <ref>A. Jakubowski A. (2011) s.23</ref>:
Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń <ref>A. Jakubowski A. (2011) s.23</ref>:
* mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> jest zbieżny do <math> C </math> '''według prawdopodobieństwa''', gdy dla każdego <math> \varepsilon > 0 </math> zachodzi: <math> P(|{\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} - C|> \varepsilon) \to 0 \textit{ dla } n \to + \infty , </math>
* mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> jest zbieżny do <math> C </math> '''według prawdopodobieństwa''', gdy dla każdego <math> \varepsilon > 0 </math> zachodzi: <math> P(|{\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} - C|> \varepsilon) \to 0 \textit{ dla } n \to + \infty , </math>
* mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> jest zbieżny do <math> C </math> z prawdopodobieństwem jeden ('''prawie na pewno'''), gdy:
* mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> jest zbieżny do <math> C </math> z prawdopodobieństwem jeden ('''prawie na pewno'''), gdy:
<math> P \{\omega; {\frac{X_{1}(\omega) + X_{2}(\omega) + \dots + X_{n}(\omega)}{n}} \to C \} = 1 . </math>
<math> P \{\omega; {\frac{X_{1}(\omega) + X_{2}(\omega) + \dots + X_{n}(\omega)}{n}} \to C \} = 1 . </math>
Linia 32: Linia 32:
# Ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> spełnia '''mocne prawo wielkich liczb''', gdy istnieje stała <math> C </math> taka, że: <math> {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to C \textit{ dla } P \textit{-prawie na pewno} .</math>
# Ciąg zmiennych losowych <math> X_{1}, X_{2}, ... </math> spełnia '''mocne prawo wielkich liczb''', gdy istnieje stała <math> C </math> taka, że: <math> {\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}} \to C \textit{ dla } P \textit{-prawie na pewno} .</math>


== Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi ==
==Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi==
'''MPWL''', czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida <ref>A. Jakubowski (2011) s.24</ref><ref>J. Jakubowski (2001) s.158</ref>:
'''MPWL''', czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida <ref>A. Jakubowski (2011) s.24</ref><ref>J. Jakubowski (2001) s.158</ref>:
* Ciąg <math> X_1, X_2, \dots </math> oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli <math> E|X| < +\infty </math> to:
* Ciąg <math> X_1, X_2, \dots </math> oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli <math> E|X| < +\infty </math> to:
Linia 38: Linia 38:
* To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że <math> P(\limsup_n {\frac {|X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}|}{n}} < +\infty) > 0 </math> wynika: <math> E|X| < + \infty \textit{ i srednie sa zbiezne prawie wszedzie do } EX_{1}. </math>
* To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że <math> P(\limsup_n {\frac {|X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}|}{n}} < +\infty) > 0 </math> wynika: <math> E|X| < + \infty \textit{ i srednie sa zbiezne prawie wszedzie do } EX_{1}. </math>


== Zastosowanie prawa wielkich liczb ==
==Zastosowanie prawa wielkich liczb==
Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich <ref>J. Jakubowski (2001) s.160-163</ref>:
Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich <ref>J. Jakubowski (2001) s.160-163</ref>:
* [[metoda]] Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
* [[metoda]] Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
Linia 58: Linia 58:
* Seneta E., (2006), ''[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.bj/1377612845 A Tricentenary history of the Law of Large Numbers]'', School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia
* Seneta E., (2006), ''[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.bj/1377612845 A Tricentenary history of the Law of Large Numbers]'', School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia
</noautolinks>
</noautolinks>
[[Kategoria:Statystyka i Ekonometria]]
[[Kategoria:Statystyka i Ekonometria]]


Wersja z 13:11, 2 lis 2023

Prawo wielkich liczb
Polecane artykuły

Prawo wielkich liczb - seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą.

Prawa Bernoulliego

W książce Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa [1] autorzy przedstawiają prawa Bernoulliego w następujący sposób:

  • Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Niech oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego prób, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe , to dla każdego .

  • Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego prób, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe . Wtedy -prawie wszędzie , gdy . Prawa te pod koniec XVII wieku udowodnił Jakub Bernoulli.

Prawa Markowa

Do sformułowania prawa wielkich liczb Markowa używamy następujących definicji i twierdzeń [2]:

  • mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny do według prawdopodobieństwa, gdy dla każdego zachodzi:
  • mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny do z prawdopodobieństwem jeden (prawie na pewno), gdy:

  1. Ciąg zmiennych losowych spełnia słabe prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała taka, że według prawdopodobieństwa:
  2. Ciąg zmiennych losowych spełnia mocne prawo wielkich liczb, gdy istnieje stała taka, że:

Chińczyn, Kołmogorow, Etemadi

MPWL, czyli mocne prawo wielkich Chińczyna, Kołmogrowa, Etemida [3][4]:

  • Ciąg oznaczmy jako ciąg niezależnych zmiennych losowych, które mają ten sam rozkład. Jeżeli to:

  • To twierdzenie ma również odwrotną formę. Z tego, że wynika:

Zastosowanie prawa wielkich liczb

Prawa wielkich liczb znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, oto kilka z nich [5]:

  • metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest ona szczególnie przydatna do obliczania całek wielokrotnych (w analizie matematycznej), rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Stanisław Ulam użył tej metody do obliczeń związanych z bombą atomową.
  • wyliczanie dystrybuanty empirycznej.
  • dowodzenie twierdzeń dotyczących teorii liczb.
  • w statystyce. Zgodnie z prawem wielkich liczb wnioski o konkretnej grupie można wyciągnąć tylko na podstawie odpowiednio dużej próby. Im próba jest większa tym bardziej wynik powinien zbliżać się do wartości przeciętnej.

Przypisy

  1. ↑ J. Jakubowski (2001) s.154,155
  2. ↑ A. Jakubowski A. (2011) s.23
  3. ↑ A. Jakubowski (2011) s.24
  4. ↑ J. Jakubowski (2001) s.158
  5. ↑ J. Jakubowski (2001) s.160-163

Bibliografia

  • Feller W. (2007), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Hand D.J., (2014), Zasada nieprawdopodobieństwa Dlaczego codziennie zdarzają się cuda, zbiegi okolicznościi rzadkie wydarzenia, Grupa Wydawnicza Foksal, Warszawa
  • Jakubowski A., (2011), Statystyka i eksploracja danych Repetytorium z teorii prawdopodobieństwa, Wydawca: UMK Toruń, Toruń
  • Jakubowski J., Sztencel R. (2001). Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo SCRIPT, Warszawa
  • Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Nawrocki J., Winnicki A., (2010), Matematyka cz.5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej, Politechnika Warszawska, Warszawa
  • Seneta E., (2006), A Tricentenary history of the Law of Large Numbers, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney, Australia


Autor: Mariola Klaś


Źródło: „https://mfiles.pl/pl/index.php?title=Prawo_wielkich_liczb&oldid=157650”