Błąd względny

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru (L. Czopek 1994, s. 172). Jest on wielkością mianowaną.

$\delta _{x}={\frac {\Delta x}{x_{0}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{0}}}$

gdzie:

x₀ - wartość mierzona,

Δx - błąd bezwzględny.

Błąd względny najczęściej jednak wyrażony jest w procentach, wtedy nazywany jest błędem procentowym (H. Szydłowski 1973, s. 41).

$\delta ={\frac {\Delta x*100\%}{x}}$

gdzie:

ð - błąd procentowy

Δx - błąd bezwzględny

x₀- wynik pomiaru.

Wyznaczona wartość błędu procentowego jest sama w sobie nie wartościowa, dlatego aby uzyskać pełną informację o wartości dokonanego pomiaru podaje się łącznie: wynik pomiaru i błąd procentowy (H. Szydłowski 1973, s. 41).

TL;DR

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru, zwykle wyrażany w procentach. Jest używany w różnych dziedzinach, takich jak matematyka, ekonomia, metrologia i geodezja. Błąd względny pozwala ocenić jakość pomiaru i estymację. W geodezji błąd względny jest używany do opisania błędów pomiarów związanych z niedoskonałościami przyrządów i innych czynników. Różnica między błędem względnym a błędem bezwzględnym polega na wartościowości wyniku pomiaru.

Błąd względny w matematyce

"Niech a będzie przybliżeniem liczby x.(...) Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej liczby x nazywamy błędem względnym:

$\delta ={\frac {|x-a|}{|x|}}$

Błąd względny często wyrażany jest w procentach" (W. Babiański 2009, s. 78).

Przykład 1.

Państwo Kowalscy zaplanowali remont mieszkania, na który przeznaczyć chcieli 10 000 zł, z kolei na zakup nowego telewizora zamierzali wydać 1100 zł. W rzeczywistości jednak remont mieszkania wyniósł 10300 zł, a nowy telewizor kosztował 1400 zł. W obu wypadkach, pomyli się w szacowaniu kosztów o 300 zł (błąd bezwzględny). Podaj w procentach błąd względny, popełniony przy estymacji wydatków.

Rozwiązanie:

Remont mieszkania

x - 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

$\delta _{x}={\frac {300*100\%}{10300}}=2,91\%$

Nowy telewizor

x - 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

$\delta _{x}={\frac {300*100\%}{1400}}=21,43\%$

Błąd względny w ekonomii

W celu wstępnej analizy odchyleń kosztów rzeczywistych w stosunku do przyjętej bazy odniesienia, jako jednego z elementów analizy ekonomiczno - finansowej firmy, wykorzystuje się odchylenia. Dzielą się one na odchylenia bezwzględne i względne.

Odchylenie względne (ΔK_w) można wyznaczyć za pomocą wzoru:

$\Delta K_{w}=K_{1}-K_{o}*{\frac {P_{1}}{P_{o}}}$

gdzie:

ΔK_w - odchylenie względne,

K₁ - koszty okresu badanego,

K₀ - koszty okresu bazowego,

P₁ - przychody okresu badanego,

P₀ - przychody okresu bazowego.

Względne odchylenie kosztów daje możliwość oceny wpływu na koszty zmian rozmiarów działalności gospodarczej (produkcji, sprzedaży, przychodów). Może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne. Dodatni wynik informuje o względnym wzroście kosztów, ujemny natomiast o względnej obniżce kosztów (Z. Leszczyński 2000, s. 238).

Błąd względny w metrologii

Wszystkie przyrządy pomiarowe charakteryzują się ograniczoną dokładnością materiałową, wynikającą z właściwości materiałów wykorzystanych do ich budowy. Dokładność tych przyrządów opisywana jest za pomocą błędu granicznego, który wyznacza największą wartość błędu wskazania, mogącą wystąpić w dowolnym punkcie zakresu pomiarowego przyrządu w przypadku jego poprawnego użytkowania w warunkach odniesienia. Najważniejszymi parametrami dotyczącymi warunków odniesienia są: temperatura, ciśnienie, wilgotność, brak wstrząsów, wibracji i innych zakłóceń (np. elektromagnetycznych) (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Błąd pomiaru przyrządem analogowym zależny od jego klasy dokładności (K) oraz zakresu pomiarowego (Z). Względny błąd graniczny można wyznaczyć za pomocą wzoru:

$\delta _{gr}={\frac {\Delta X*100\%}{x}}$

gdzie:

ΔX - wartość bezwzględnego błędu pomiarowego,

x - wynik pomiaru,

ð_gr - względny błąd graniczny

Wiedząc, że błąd bezwzględny ΔX opisany jest za pomocą wzoru:

$\Delta X={\frac {K*Z}{100}}$

gdzie:

K - klasa narzędzia pomiarowego,

Z- zakres narzędzia pomiarowego,

po podstawieniu otrzymujemy:

$\delta _{gr}={\frac {K*Z*100\%}{x}}$

Mając na uwadze, że wartość bezwzględnego błędu granicznego jest stała, względny błąd graniczny, będący stosunkiem bezwzględnego błędu granicznego do wartości mierzonej x, maleje wraz ze wzrostem tej wartości. Z tejże przyczyny zakres przyrządu musi być dobrany w taki sposób, żeby wychylenie wskazówki znajdowało się w części podziałki powyżej ½ zakresu (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Przykład 2.

Woltomierzem o zakresie pomiarowym 150V i klasie dokładności 0,2 zmierzono napięcie na rezystorze, które wyniosło 120V. Obliczyć błąd względny pomiaru.

Rozwiązanie:

Z - 150 V

K - 0,2

X - 120 V

$\delta _{gr}={\frac {K*Z*100\%}{x}}$

$\Delta P=100\%*{\frac {0,2*150\%}{120}}=25\%$

Zatem błąd względny pomiaru wynosi 25%.

Błąd względny w geodezji

W geodezji wyniki pomiarów, zwane także obserwacjami, lub spostrzeżeniami (oznaczane L₁, L₂,...L_n) zawsze obarczone są błędami, które wynikać mogą z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów obserwatora czy też zmienności warunków środowiskowych i atmosferycznych w czasie dokonywania pomiaru. Z tego też powody, wielkości tych pomiarów są jedynie wartościami przybliżonymi do wartości prawdziwych wielkości mierzonych (nieznanych). Ze względu na źródła występowania rozróżnia się trzy grupy błędów:

• błędy grube,
• błędy systematyczne,
• błędy losowe.

Inną typologią błędów jest:

• błąd prawdziwy \epsilon, czyli różnica wartości zmierzonej L_o i wartości prawdziwej spostrzeżenia X

ɛ= L_o-X

• błąd pozorny spostrzeżenia "-v" to różnica wartości zmierzonej i wartości wyrównanej spostrzeżenia L_w
• v = L_w - L_o

Z kolei błędy charakteryzujące dokładność obserwacji to:

• błąd absolutny m_a przypadający na całą nieznaną wielkość,
• błąd względny m_w przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości d. Błąd ten wyrażony jest za pomocą wzoru:

$m_{w}={\frac {m_{a}}{d}}$

• błąd średni pojedynczego spostrzeżenia m, obliczony na podstawie błędów prawdziwych

$m={\sqrt {\frac {\epsilon \epsilon }{n}}}$

gdzie "n" - liczba błędów prawdziwych = liczba spostrzeżeń. Niemniej jednak, ten wzór jest rzadko stosowany, ponieważ rzadko kiedy istnieje możliwość określenia błędów prawdziwych. W związku z tym, średni błąd spostrzeżenia obliczany jest na podstawie błędów pozornych

$m={\sqrt {\frac {v*v}{n-1}}}$

• błąd graniczny g - wyznacza maksymalną wartość błędu dopuszczalnego dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego, czyli g = 3 m

W praktyce przyjmuje się jednak, że g znajduje się w przedziale: 2 m ≤ g ≤ 3 m (L. Wiatr 2007, s. 7-9).

Przykład 3.

Zmierzono długość L=300 m ze średnim błędem m = ±3 cm. Oblicz błąd względny tej długości (L. Wiatr 2007, s. 11).

$m_{v}={\frac {m}{L}}$

$m_{v}={\frac {\pm 3cm}{300m}}={\frac {\pm 3cm}{30000cm}}=\pm {\frac {1}{10000}}=\pm 0,0001$

Różnica między błędem względnym a błędem bezwzględnym

Podstawowym czynnikiem różnicującym błąd względny od błędu bezwzględnego jest wartościowość uzyskanego wyniku. Błąd względny w przeciwieństwie do błędu bezwzględnego pozwala na zinterpretowanie badanego zjawiska, określa jego jakość (Fiałkowska M. 2009, s. 338-339).

Błąd względny — artykuły polecane

Błąd bezwzględny — Współczynnik determinacji — Skala interwałowa — Saldo migracji — Krzywa wzorcowa — ANOVA — Poziom istotności — Analiza regresji — Średnia geometryczna

Bibliografia

• Babiański W. (2009), Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. Nowa Era, Warszawa
• Burnos P. (2010), Laboratorium metrologii AGH. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych, AGH, Kraków
• Fiałkowska M., Fiałkowski K., Saganowska B. (2009), Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych, ZamKor, Kraków
• Fogra (1995), Popularna Encyklopedia Powszechna, Wydawnictwo Oficyna Wydawnicza Fogra, Kraków
• Leszczyński Z., Skowronek-Mielczarek A. (2000), Analiza ekonomiczno - finansowa firmy. Difin, Warszawa
• Szydłowski H. (1973), Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa
• Wiatr L. (2007), Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311.10.Z1.07. Poradnik dla ucznia. Instytut Technologii Eksploatacji - Państwowy Instytut Badawczy, Radom

Autor: Katarzyna Kolano