Złoty podział: Różnice pomiędzy wersjami
mNie podano opisu zmian |
m (cleanup bibliografii i rotten links) |
||
(Nie pokazano 14 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Złoty podział''' - lub jak podaje Fernando Corbalán '''złota proporcja''', '''boski stosunek''', (F. Corbalán 2010, s9) jest to podzielenie odcinka w pewnym miejscu tak, by stosunek dłuższej długości do długości krótszej był identyczny jak stosunek całego odcinka do długości dłuższej. | |||
'''Złoty podział''' | |||
Punkt podziału odcinka w stosunku φ na dwie części może znajdować się w dwóch miejscach, bliżej jego prawego lub lewego końca. | Punkt podziału odcinka w stosunku φ na dwie części może znajdować się w dwóch miejscach, bliżej jego prawego lub lewego końca. | ||
* złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą dłuższą cześć odcinka przykładamy do krótszej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu [[wartość]] liczbową wynoszącą 1,618 | * złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą dłuższą cześć odcinka przykładamy do krótszej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu [[wartość]] liczbową wynoszącą 1,618 | ||
* złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą krótszą cześć odcinka przykładamy do dłuższej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 0,618 (T. Górny 2011) | * złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą krótszą cześć odcinka przykładamy do dłuższej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 0,618 (T. Górny 2011) | ||
Stosunek, o którym jest tu mowa oznacza się grecką literą <math> \phi</math> (czyt. " | |||
<math> \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1,6180339887...</math | Stosunek, o którym jest tu mowa oznacza się grecką literą <math> \phi</math> (czyt. "fi"). Wartość tej liczby wynosi: | ||
<math> \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1,6180339887...</math> | |||
==TL;DR== | ==TL;DR== | ||
Linia 26: | Linia 11: | ||
==Historia== | ==Historia== | ||
Najstarszy znany tekst, który opisuję tą relację to ''Elementy geometrii Euklidesa z Aleksandrii'' (T. Górny 2011). Euklides zebrał wszystkie odkrycia matematyczne swojej epoki w jednym tekście i stworzyć coś na podobieństwo encyklopedii. Elementy geometrii odniosły ogromny [[sukces]] i miały decydujący wpływ na [[rozwój]] wszystkich rodzajów matematyki. Następnie poprzez [[długi okres]] zapomniano o boskiej proporcji, aż do momentu kiedy na nowo ją odkrył Niemiec Zeysing i skonkretyzował jej rolę kierowniczej zasady morfologicznej (M. C. Ghycha 2001 s. 55).W starożytnej Grecji wspólnym symbolem dla złotego podziału była grecka litera <math>\tau</math>.Jednak na początku | Najstarszy znany tekst, który opisuję tą relację to ''Elementy geometrii Euklidesa z Aleksandrii'' (T. Górny 2011). Euklides zebrał wszystkie odkrycia matematyczne swojej epoki w jednym tekście i stworzyć coś na podobieństwo encyklopedii. Elementy geometrii odniosły ogromny [[sukces]] i miały decydujący wpływ na [[rozwój]] wszystkich rodzajów matematyki. Następnie poprzez [[długi okres]] zapomniano o boskiej proporcji, aż do momentu kiedy na nowo ją odkrył Niemiec Zeysing i skonkretyzował jej rolę kierowniczej zasady morfologicznej (M. C. Ghycha 2001 s. 55).W starożytnej Grecji wspólnym symbolem dla złotego podziału była grecka litera <math>\tau</math>.Jednak na początku | ||
XX wieku, amerykański matematyk Mark Barr dał nowy symbol złotej proporcji, a mianowicie <math> \phi</math>, ponieważ była to pierwsza grecka litera w imieniu Fidiasa, wielkiego greckiego rzeźbiarza.(M. Livio 2002 s5) | XX wieku, amerykański matematyk Mark Barr dał nowy symbol złotej proporcji, a mianowicie <math> \phi</math>, ponieważ była to pierwsza grecka litera w imieniu Fidiasa, wielkiego greckiego rzeźbiarza.(M. Livio 2002 s5) | ||
<google>n</google> | |||
==Złoty podział w matematyce== | ==Złoty podział w matematyce== | ||
[[Ciąg Fibonacciego|Ciąg Fibonacciego]] i własności złotej proporcji są ze sobą powiązane. | |||
Pierwsze piętnaście wyrazów tego ciągu wygląda następująco: | |||
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 | |||
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 | |||
Jeżeli podzielimy dowolną liczbę z tego ciągu przez poprzedzającą ją liczbę, to zawsze otrzymamy pewne przybliżenie liczby <math> \phi</math>, im dalej jesteśmy w ciągu tym lepsze przybliżenie otrzymamy (F. Corbalán 2010, s16). Innymi słowy, dzieląc przez siebie kolejne liczby [[Ciąg Fibonacciego|Ciąg Fibonacciego]], możemy otrzymać kolejne przybliżenia złotej liczby. Obliczmy więc przybliżenia złotej liczby korzystając z początkowych wyrazów ciągu: | Jeżeli podzielimy dowolną liczbę z tego ciągu przez poprzedzającą ją liczbę, to zawsze otrzymamy pewne przybliżenie liczby <math> \phi</math>, im dalej jesteśmy w ciągu tym lepsze przybliżenie otrzymamy (F. Corbalán 2010, s16). Innymi słowy, dzieląc przez siebie kolejne liczby [[Ciąg Fibonacciego|Ciąg Fibonacciego]], możemy otrzymać kolejne przybliżenia złotej liczby. Obliczmy więc przybliżenia złotej liczby korzystając z początkowych wyrazów ciągu: | ||
<math>\frac{1}{1}=1</math> | <math>\frac{1}{1}=1</math> | ||
<math>\frac{2}{1}=2</math> | <math>\frac{2}{1}=2</math> | ||
<math>\frac{3}{2}=1,5</math> | <math>\frac{3}{2}=1,5</math> | ||
<math>\frac{5}{3}=1,666...</math> | <math>\frac{5}{3}=1,666...</math> | ||
<math>\frac{8}{5}=1,6</math> | <math>\frac{8}{5}=1,6</math> | ||
<math>\frac{13}{8}=1,625</math> | <math>\frac{13}{8}=1,625</math> | ||
<math>\frac{21}{13}=1,615384...</math> | <math>\frac{21}{13}=1,615384...</math> | ||
<math>\frac{34}{21}=1,619047...</math> | <math>\frac{34}{21}=1,619047...</math> | ||
<math>\frac{55}{34}=1,617647...</math> | <math>\frac{55}{34}=1,617647...</math> | ||
<math>\frac{89}{55}=1,618181...</math> | <math>\frac{89}{55}=1,618181...</math> | ||
<math>\frac{144}{89}=1,617977...</math> | <math>\frac{144}{89}=1,617977...</math> | ||
<math> \phi</math> = 1,6180339887... | <math> \phi</math> = 1,6180339887... | ||
==Złoty podział w naturze== | ==Złoty podział w naturze== | ||
Wiele zależności w naturze jest podporządkowane boskiej proporcji. W większości, bez mutacji i deformacji optymalnie rozwinięty kwiat, zawsze posiada liczbę płatków która jest odzwierciedleniem liczb [[Ciąg Fibonacciego|Ciąg Fibonacciego]]. Przykładowo lilia calla posiada jeden płatek, wilczomlecz dwa płatki, trójlist trzy płatki, dzika róża pięć płatków, krwiowiec kanadyjski osiem płatków, krostawiec trzynaście płatków, stokrotki dwadzieścia jeden płatków, złocień trzydzieści cztery płatki. Złoty podział i liczbę <math> \phi</math> odnajdziemy także w proporcjach naszego ciała, u nie każdego człowieka będą one idealnie zachowane lecz na pewno bardzo zbliżone. Zdaniem F. Corbalán "Człowiek idealny Leonarda stanowił pierwszą refleksję nad obecnością <math> \phi</math> w świecie ożywionym. Od tamtej pory historia sztuki i nauki niosła liczne badania nad relacją między różnymi częściami ludzkiego ciała ze złotą proporcją"(F. Corbalán 2010, s126). Przykładowo stosunek odległości od końca palców do łokcia do odległości od łokcia do nadgarstka lub stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka powinien być zbliżony do liczby <math> \phi</math>. Analizując dalej anatomię człowieka możemy zauważyć, że mamy dwie ręce, a każda z nich składa się z pięciu palców. W ośmiu palcach mamy po trzy paliczki, natomiast dwa kciuki składają się z dwóch paliczków, każda z tych liczb są liczbami ciągu a stosunek długości środkowego palca do małego jest równa liczbie <math> \phi</math>(I. Lehmann 2014). Pismo ''Science'' w 2010 roku ogłosiło, że wykryto obecność złotego podziału w atomowej skali w kryształach | Wiele zależności w naturze jest podporządkowane boskiej proporcji. W większości, bez mutacji i deformacji optymalnie rozwinięty kwiat, zawsze posiada liczbę płatków która jest odzwierciedleniem liczb [[Ciąg Fibonacciego|Ciąg Fibonacciego]]. Przykładowo lilia calla posiada jeden płatek, wilczomlecz dwa płatki, trójlist trzy płatki, dzika róża pięć płatków, krwiowiec kanadyjski osiem płatków, krostawiec trzynaście płatków, stokrotki dwadzieścia jeden płatków, złocień trzydzieści cztery płatki. Złoty podział i liczbę <math> \phi</math> odnajdziemy także w proporcjach naszego ciała, u nie każdego człowieka będą one idealnie zachowane lecz na pewno bardzo zbliżone. Zdaniem F. Corbalán "Człowiek idealny Leonarda stanowił pierwszą refleksję nad obecnością <math> \phi</math> w świecie ożywionym. Od tamtej pory historia sztuki i nauki niosła liczne badania nad relacją między różnymi częściami ludzkiego ciała ze złotą proporcją"(F. Corbalán 2010, s126). Przykładowo stosunek odległości od końca palców do łokcia do odległości od łokcia do nadgarstka lub stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka powinien być zbliżony do liczby <math> \phi</math>. Analizując dalej anatomię człowieka możemy zauważyć, że mamy dwie ręce, a każda z nich składa się z pięciu palców. W ośmiu palcach mamy po trzy paliczki, natomiast dwa kciuki składają się z dwóch paliczków, każda z tych liczb są liczbami ciągu a stosunek długości środkowego palca do małego jest równa liczbie <math> \phi</math>(I. Lehmann 2014). Pismo ''Science'' w 2010 roku ogłosiło, że wykryto obecność złotego podziału w atomowej skali w kryształach niobianu kobaltu.(''Golden ratio...'', 2010) | ||
==Złoty podział w sztuce== | ==Złoty podział w sztuce== | ||
w 1509 | w 1509 Luca Pacioli, matematyk, franciszkański mnich oraz pasjonat sztuki opublikował trzytomowe dzieło ''De Divina Proportione'', w którym zanurza się w matematyczny aspekt złotego podziału. ''De Divina Proportione'' miała ogromy wpływ na architektów i artystów. Mimo że powstała dopiero w XVI w. to już starożytni Grecy znali złoty podział w oparciu o który powstał Partenon. Grecy nie byli jedyną starożytną cywilizacją wykorzystującą boską proporcję w architekturze, Egipcjanie budując piramidy opierali się właśnie na niej. Może o tym świadczyć fakt że stosunek długości bocznej ściany piramidy do długości połowy podstawy daję nam w przybliżeniu <math> \phi</math>. W XVI w. filozof Heinrich Agrippa na pentagramie wpisanym wkoło narysował człowieka, co jest sugeruje związek z boską proporcją (''The knight...'', 1996). Wybitny człowiek renesansu Leonardo da Vinci wielokrotnie korzystał z złotego podziału w jego dziełach. Przykładowo Zdaniem F. Corbalán "W ostatniej wieczerzy złoty prostokąt określa zarówno wymiary stołu, jak i rozmieszczenie Chrystusa oraz jego uczniów wokół stołu. Znając złotą proporcję, widzimy, że podlegają jej także ściany pokoju oraz okna w tle obrazu"(F. Corbalán 2010, s106). Złoty podział dostrzeżono również w muzyce w dziełach Jana Sebastiana Bacha. Złota proporcja pojawia się tam w budowie frazy oraz w przebiegu i harmonice linii melodycznych pojedynczych instrumentów. | ||
{{infobox5|list1={{i5link|a=[[Kamień węgielny]]}} — {{i5link|a=[[Prawa De Morgana]]}} — {{i5link|a=[[Efekt domina]]}} — {{i5link|a=[[Jednostka miary]]}} — {{i5link|a=[[Nisza ekologiczna]]}} — {{i5link|a=[[Pyrrusowe zwycięstwo]]}} — {{i5link|a=[[Geocentryzm]]}} — {{i5link|a=[[Prawo Moore'a]]}} — {{i5link|a=[[Maszyna Turinga]]}} }} | |||
==Bibliografia== | ==Bibliografia== | ||
* Corbalán F.(2010),''Złota proporcja. Matematyczny język piękna'', RBA Hiszpania | <noautolinks> | ||
* Corbalán F. (2010), ''Złota proporcja. Matematyczny język piękna'', RBA Hiszpania | |||
* Ghyka M. (2001), ''Złota liczba'', TAiWPN Universitas Kraków | * Ghyka M. (2001), ''Złota liczba'', TAiWPN Universitas Kraków | ||
* Górny T. (2011), ''[https://cejsh.icm.edu.pl/cejsh/element/bwmeta1.element.pan-rl-yid-2011-iid-6-art-000000000003/c/320Zasada20zlotego20ciecia.pdf Zasada złotego cięcia a literatura]'', Ruch Literacki, nr 6 | |||
* Górny T. (2011) [ | * Lehman I., Posamentier S. (2014), ''Niezwykłe liczby Fibonacciego. Piękno natury, potęga matematyki'', Wydawnictwo Prószyński i S-ka, Warszawa | ||
* Lehman I., Posamentier S | |||
* Livio M. (2002), ''The Golden Ratio: The Story of Phi The World’s Most Astonishing Number'', Broadway Books New York | * Livio M. (2002), ''The Golden Ratio: The Story of Phi The World’s Most Astonishing Number'', Broadway Books New York | ||
* Sadowski P. (1996), | * Sadowski P. (1996), ''The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight'', University of Delaware Press | ||
</noautolinks> | |||
[[Kategoria:Filozofia]] | |||
{{a|Jakub Zelek}} | {{a|Jakub Zelek}} | ||
{{#metamaster:description|Złoty podział to boski stosunek, który dzieli odcinek w sposób proporcjonalny. Może być osiągnięty na dwa sposoby: φ ≈ 1,618 lub φ ≈ 0,618.}} | {{#metamaster:description|Złoty podział to boski stosunek, który dzieli odcinek w sposób proporcjonalny. Może być osiągnięty na dwa sposoby: φ ≈ 1,618 lub φ ≈ 0,618.}} |
Aktualna wersja na dzień 23:06, 9 sty 2024
Złoty podział - lub jak podaje Fernando Corbalán złota proporcja, boski stosunek, (F. Corbalán 2010, s9) jest to podzielenie odcinka w pewnym miejscu tak, by stosunek dłuższej długości do długości krótszej był identyczny jak stosunek całego odcinka do długości dłuższej. Punkt podziału odcinka w stosunku φ na dwie części może znajdować się w dwóch miejscach, bliżej jego prawego lub lewego końca.
- złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą dłuższą cześć odcinka przykładamy do krótszej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 1,618
- złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą krótszą cześć odcinka przykładamy do dłuższej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 0,618 (T. Górny 2011)
Stosunek, o którym jest tu mowa oznacza się grecką literą (czyt. "fi"). Wartość tej liczby wynosi:
TL;DR
Złoty podział, znany także jako złota proporcja, to stosunek dłuższej długości do krótszej, który jest identyczny jak stosunek całego odcinka do długości dłuższej. Jest on obecny w matematyce, naturze i sztuce. Ciąg Fibonacciego jest z nim powiązany, a liczba φ jest jego przybliżeniem. Złoty podział można znaleźć w liczbach płatków kwiatów, proporcjach ciała człowieka, architekturze i dziełach artystycznych, takich jak obrazy i muzyka.
Historia
Najstarszy znany tekst, który opisuję tą relację to Elementy geometrii Euklidesa z Aleksandrii (T. Górny 2011). Euklides zebrał wszystkie odkrycia matematyczne swojej epoki w jednym tekście i stworzyć coś na podobieństwo encyklopedii. Elementy geometrii odniosły ogromny sukces i miały decydujący wpływ na rozwój wszystkich rodzajów matematyki. Następnie poprzez długi okres zapomniano o boskiej proporcji, aż do momentu kiedy na nowo ją odkrył Niemiec Zeysing i skonkretyzował jej rolę kierowniczej zasady morfologicznej (M. C. Ghycha 2001 s. 55).W starożytnej Grecji wspólnym symbolem dla złotego podziału była grecka litera .Jednak na początku XX wieku, amerykański matematyk Mark Barr dał nowy symbol złotej proporcji, a mianowicie , ponieważ była to pierwsza grecka litera w imieniu Fidiasa, wielkiego greckiego rzeźbiarza.(M. Livio 2002 s5)
Złoty podział w matematyce
Ciąg Fibonacciego i własności złotej proporcji są ze sobą powiązane.
Pierwsze piętnaście wyrazów tego ciągu wygląda następująco:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
Jeżeli podzielimy dowolną liczbę z tego ciągu przez poprzedzającą ją liczbę, to zawsze otrzymamy pewne przybliżenie liczby , im dalej jesteśmy w ciągu tym lepsze przybliżenie otrzymamy (F. Corbalán 2010, s16). Innymi słowy, dzieląc przez siebie kolejne liczby Ciąg Fibonacciego, możemy otrzymać kolejne przybliżenia złotej liczby. Obliczmy więc przybliżenia złotej liczby korzystając z początkowych wyrazów ciągu:
= 1,6180339887...
Złoty podział w naturze
Wiele zależności w naturze jest podporządkowane boskiej proporcji. W większości, bez mutacji i deformacji optymalnie rozwinięty kwiat, zawsze posiada liczbę płatków która jest odzwierciedleniem liczb Ciąg Fibonacciego. Przykładowo lilia calla posiada jeden płatek, wilczomlecz dwa płatki, trójlist trzy płatki, dzika róża pięć płatków, krwiowiec kanadyjski osiem płatków, krostawiec trzynaście płatków, stokrotki dwadzieścia jeden płatków, złocień trzydzieści cztery płatki. Złoty podział i liczbę odnajdziemy także w proporcjach naszego ciała, u nie każdego człowieka będą one idealnie zachowane lecz na pewno bardzo zbliżone. Zdaniem F. Corbalán "Człowiek idealny Leonarda stanowił pierwszą refleksję nad obecnością w świecie ożywionym. Od tamtej pory historia sztuki i nauki niosła liczne badania nad relacją między różnymi częściami ludzkiego ciała ze złotą proporcją"(F. Corbalán 2010, s126). Przykładowo stosunek odległości od końca palców do łokcia do odległości od łokcia do nadgarstka lub stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka powinien być zbliżony do liczby . Analizując dalej anatomię człowieka możemy zauważyć, że mamy dwie ręce, a każda z nich składa się z pięciu palców. W ośmiu palcach mamy po trzy paliczki, natomiast dwa kciuki składają się z dwóch paliczków, każda z tych liczb są liczbami ciągu a stosunek długości środkowego palca do małego jest równa liczbie (I. Lehmann 2014). Pismo Science w 2010 roku ogłosiło, że wykryto obecność złotego podziału w atomowej skali w kryształach niobianu kobaltu.(Golden ratio..., 2010)
Złoty podział w sztuce
w 1509 Luca Pacioli, matematyk, franciszkański mnich oraz pasjonat sztuki opublikował trzytomowe dzieło De Divina Proportione, w którym zanurza się w matematyczny aspekt złotego podziału. De Divina Proportione miała ogromy wpływ na architektów i artystów. Mimo że powstała dopiero w XVI w. to już starożytni Grecy znali złoty podział w oparciu o który powstał Partenon. Grecy nie byli jedyną starożytną cywilizacją wykorzystującą boską proporcję w architekturze, Egipcjanie budując piramidy opierali się właśnie na niej. Może o tym świadczyć fakt że stosunek długości bocznej ściany piramidy do długości połowy podstawy daję nam w przybliżeniu . W XVI w. filozof Heinrich Agrippa na pentagramie wpisanym wkoło narysował człowieka, co jest sugeruje związek z boską proporcją (The knight..., 1996). Wybitny człowiek renesansu Leonardo da Vinci wielokrotnie korzystał z złotego podziału w jego dziełach. Przykładowo Zdaniem F. Corbalán "W ostatniej wieczerzy złoty prostokąt określa zarówno wymiary stołu, jak i rozmieszczenie Chrystusa oraz jego uczniów wokół stołu. Znając złotą proporcję, widzimy, że podlegają jej także ściany pokoju oraz okna w tle obrazu"(F. Corbalán 2010, s106). Złoty podział dostrzeżono również w muzyce w dziełach Jana Sebastiana Bacha. Złota proporcja pojawia się tam w budowie frazy oraz w przebiegu i harmonice linii melodycznych pojedynczych instrumentów.
Złoty podział — artykuły polecane |
Kamień węgielny — Prawa De Morgana — Efekt domina — Jednostka miary — Nisza ekologiczna — Pyrrusowe zwycięstwo — Geocentryzm — Prawo Moore'a — Maszyna Turinga |
Bibliografia
- Corbalán F. (2010), Złota proporcja. Matematyczny język piękna, RBA Hiszpania
- Ghyka M. (2001), Złota liczba, TAiWPN Universitas Kraków
- Górny T. (2011), Zasada złotego cięcia a literatura, Ruch Literacki, nr 6
- Lehman I., Posamentier S. (2014), Niezwykłe liczby Fibonacciego. Piękno natury, potęga matematyki, Wydawnictwo Prószyński i S-ka, Warszawa
- Livio M. (2002), The Golden Ratio: The Story of Phi The World’s Most Astonishing Number, Broadway Books New York
- Sadowski P. (1996), The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight, University of Delaware Press
Autor: Jakub Zelek