Ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego
Polecane artykuły


Ciąg Fibonnacciego wł. ciąg liczb Fibonacciego (A. Nowicki 2012) to ciąg liczb naturalnych, określony w sposób rekurencyjny. Zdefiniowany jest następującym wzorem rekurencyjnym:

\( F_n = \begin{cases} 0, & \mbox{dla }\mbox{ n = 0} \\ 1, & \mbox{dla }\mbox{ n = 1} \\ F_{n-1} + F_{n-2}, & \mbox{dla }\mbox{ n > 1} \end{cases} \)

Złota liczba

Złota liczba (\( φ \), phi) to współczynnik, do jakiego ciąg Fibonacciego zmierza asymptotycznie. Współczynnik ten jest liczbą niewymierną, to znaczy jego kolejne rozwinięcia dziesiętne ciągną się w nieskończoność, a jego wartości nie da się wyrazić z absolutną dokładnością. Jeśli kolejne liczby sekwencji będziemy dzielić przez liczby w stosunku do nich poprzednie, wykonując działanie \( \frac{F_n}{F_{n-1}} \) (np. 13 przez 8, 21 przez 13, itd.), otrzymamy współczynnik oscylujący wokół niewymiernej wartości 1,61803398875... Będzie on na przemian raz od niej większy, a raz mniejszy/od niej, a raz niższy.

Średniowieczny matematyk Luca Pacioli nazwał ten współczynnik boską proporcją, ale już wcześniej wymyślano dla niego specjalne określenia: złoty podział, złoty środek oraz współczynnik wirujących kwadratów. Kepler nazwał go jednym z "klejnotów geometrii". W algebrze oznacza się go na ogół grecką literą phi.

Asymptotyczne rozwijanie się ciągu, czyli jego niekończącą się, choć coraz bliższą oscylację wokół niewymiernej wartości phi, najłatwiej zrozumieć obliczając współczynniki dla kilku pierwszych jego elementów:

Dzielone wyrazy Dzielenie Wynik działania Różnica względem \( \phi; \)
\( \frac{F_2}{F_1} \) \( \frac{1}{1} \) 1 ≈ 0,6180...
\( \frac{F_3}{F_2} \) \( \frac{2}{1} \) 2 ≈ 0,3819...
\( \frac{F_4}{F_3} \) \( \frac{3}{2} \) 1,5 ≈ 0,1180 ...
\( \frac{F_5}{F_4} \) \( \frac{5}{3} \) 1,(6) ≈ 0,0486...
\( \frac{F_6}{F_5} \) \( \frac{8}{5} \) 1,6 ≈ 0,0180...
\( \frac{F_7}{F_6} \) \( \frac{13}{8} \) 1,625 ≈ 0,069...

Gdybyśmy kontynuowali tę procedurę dzieląc przez siebie kolejne elementy ciągu, kolejne wyniki byłyby coraz dokładniejszymi przybliżeniami \phi;. Analogię do wahań wartości współczynnika wokół 1,618 można odnaleźć w teorii fal Elliota w postaci reguły zmienności.

Wykorzystanie ciągu Fibonacciego w nauce

Szczególne właściwości ciągu liczb Fibonacciego znajdują zastosowania w nauce. Numery Fibonacciego są ważne na przykład w obliczeniowej analizie czasu wykonywania algorytmu Euklida w celu określenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych. Najmniej korzystnym (dwie najmniejsze liczby) przypadkiem dla tego algorytmu jest para kolejnych liczb Fibonacciego (E. Donald Kruth 1997).

Inne sposoby wykorzystania ciągu liczb Fibonacciego w nauce to m.in. zwiększanie skuteczności procesów optymalizacyjnych i algorytmów sortujących seryjnie dane.

Występowanie ciągu Fibonacciego w biologii

Sekwencje Fibonacciego pojawiają się w kształtach wielu roślin, głównie w postaci linii spiralnych. Spirale bardzo często występują właśnie w parach dwóch sąsiednich liczb ciągu Fibonacciego. Dla przykładu, w owocach ananasa, można dostrzec 5 linii spiralnych w jedną stronę i 8 lub 13 w stronę przeciwną. Spiralne ułożonenie elementów występuje również w różyczkach kalafiora, rozkwitach karczocha, kwitnych liściach paproci, kłosach szysek sosny zwyczajnej. Szczególnym przykładem występowania spirali w liczbach określonych przez ciąg Fibonacciego jest kwiat słonecznika. Nasiona są w nim ułożone w układ krzyżujących się spiral. Spośród istniejących 89 spiral, krzyżuje się 55 (55 i 89 to dwie kolejne liczby ciągu Fibonacciego).

Istnieją także interesujące zależności pomiędzy złotym środkiem, a ciałem człowieka. Analizując stosunek wzrostu ciała człowieka do odległości od pępka do stóp, otrzymamy liczbę bardzo bliską φ. Identyczne stosunki odległości, równe złotej liczbie można odnaleźć porównując odległości od końców palców dłoni do łokci – do odległości od nadgarstka do łokcia, czy odległości od czubka głowy do ramion – do odległości od czubka głowy do podbródka. (I. Lehmann 2014)

Inne zastosowania ciągu Fibonacciego

Własności ciągu liczb Fibonacciego znajdują zastosowanie m.in. w analizie technicznej, przy szacowaniu prawodpodobieństwa ruchu cenowego na danym instrumencie finansowym. Tzw. zniesienia Fibonacciego (M. Dylan 2014) to linie odpowiadające poszczególnym wartościom procentowym, wynikające z operacji na liczbach ciągu Fibonacciego. Za najważniejsze dla poziomu cenowego danego instrumentu, uważa się współczynniki 38,2% i 61,8%. Bardzo często korekty i impulsy w trendach nie przekraczają względem siebie wymienionych powyżej wartości procentowych. To pozwala na ocenę ryzyka i przy zastosowaniu wiedzy z zakresu Fal Elliota, może dać inwestorowi cenne informacje na temat przyszłej zmiany cen. Współczynnik 38,2% otrzymujemy, gdy podzielimy ze sobą nie dwie sąsiadujące ze sobą liczby ciągu Fibonacciego, ale jedną następną, np. 5 i 13 (pomijając 8), 13 i 34 (pomijając 21). Z kolei współczynnik 61,8% to odwrotność współczynnika φ, czyli złotej liczby.

Ciąg liczb Fibonacciego jest również wykorzystywany w szeroko pojętej sztuce - architekturze, muzyce, a nawet literaturze (T. Górny 2011).


Bibliografia


Autor: Mateusz Kuźniar, Michał Majdak