Złoty podział

Złoty podział
Polecane artykuły

Złoty podział – lub jak podaje Fernando Corbalán złota proporcja, boski stosunek, (F. Corbalán 2010, s9) jest to podzielenie odcinka w pewnym miejscu tak, by stosunek dłuższej długości do długości krótszej był identyczny jak stosunek całego odcinka do długości dłuższej. Punkt podziału odcinka w stosunku φ na dwie części może znajdować się w dwóch miejscach, bliżej jego prawego lub lewego końca.

  • złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą dłuższą cześć odcinka przykładamy do krótszej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 1,618
  • złota proporcja może zostać osiągnięta w taki sposób że pierwszą krótszą cześć odcinka przykładamy do dłuższej, dzięki czemu otrzymujemy w przybliżeniu wartość liczbową wynoszącą 0,618 (T. Górny 2011)

Stosunek, o którym jest tu mowa oznacza się grecką literą \(φ\) (czyt. "fi”). Wartość tej liczby wynosi\[φ=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1,6180339887...\]

Historia

Najstarszy znany tekst, który opisuję tą relację to Elementy geometrii Euklidesa z Aleksandrii (T. Górny 2011). Euklides zebrał wszystkie odkrycia matematyczne swojej epoki w jednym tekście i stworzyć coś na podobieństwo encyklopedii. Elementy geometrii odniosły ogromny sukces i miały decydujący wpływ na rozwój wszystkich rodzajów matematyki. Następnie poprzez długi okres zapomniano o boskiej proporcji, aż do momentu kiedy na nowo ją odkrył Niemiec Zeysing i skonkretyzował jej rolę kierowniczej zasady morfologicznej (M. C. Ghycha 2001 s. 55).W starożytnej Grecji wspólnym symbolem dla złotego podziału była grecka litera \(τ\).Jednak na początku XX wieku, amerykański matematyk Mark Barr dał nowy symbol złotej proporcji, a mianowicie \(φ\), ponieważ była to pierwsza grecka litera w imieniu Fidiasa, wielkiego greckiego rzeźbiarza.(M. Livio 2002 s5)

Złoty podział w matematyce

Ciąg Fibonacciego i własności złotej proporcji są ze sobą powiązane.

Pierwsze piętnaście wyrazów tego ciągu wygląda następująco:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

Jeżeli podzielimy dowolną liczbę z tego ciągu przez poprzedzającą ją liczbę, to zawsze otrzymamy pewne przybliżenie liczby \(φ\), im dalej jesteśmy w ciągu tym lepsze przybliżenie otrzymamy (F. Corbalán 2010, s16). Innymi słowy, dzieląc przez siebie kolejne liczby Ciąg Fibonacciego, możemy otrzymać kolejne przybliżenia złotej liczby. Obliczmy więc przybliżenia złotej liczby korzystając z początkowych wyrazów ciągu:
\(\frac{1}{1}=1\)
\(\frac{2}{1}=2\)
\(\frac{3}{2}=1,5\)
\(\frac{5}{3}=1,666...\)
\(\frac{8}{5}=1,6\)
\(\frac{13}{8}=1,625\)
\(\frac{21}{13}=1,615384...\)
\(\frac{34}{21}=1,619047...\)
\(\frac{55}{34}=1,617647...\)
\(\frac{89}{55}=1,618181...\)
\(\frac{144}{89}=1,617977...\)

\(φ\) = 1,6180339887...

Złoty podział w naturze

Wiele zależności w naturze jest podporządkowane boskiej proporcji. W większości, bez mutacji i deformacji optymalnie rozwinięty kwiat, zawsze posiada liczbę płatków która jest odzwierciedleniem liczb Ciąg Fibonacciego. Przykładowo lilia calla posiada jeden płatek, wilczomlecz dwa płatki, trójlist trzy płatki, dzika róża pięć płatków, krwiowiec kanadyjski osiem płatków, krostawiec trzynaście płatków, stokrotki dwadzieścia jeden płatków, złocień trzydzieści cztery płatki. Złoty podział i liczbę \(φ\) odnajdziemy także w proporcjach naszego ciała, u nie każdego człowieka będą one idealnie zachowane lecz na pewno bardzo zbliżone. Zdaniem F. Corbalán "Człowiek idealny Leonarda stanowił pierwszą refleksję nad obecnością \(φ\) w świecie ożywionym. Od tamtej pory historia sztuki i nauki niosła liczne badania nad relacją między różnymi częściami ludzkiego ciała ze złotą proporcją"(F. Corbalán 2010, s126). Przykładowo stosunek odległości od końca palców do łokcia do odległości od łokcia do nadgarstka lub stosunek wzrostu człowieka do odległości od stóp do pępka powinien być zbliżony do liczby \(φ\). Analizując dalej anatomię człowieka możemy zauważyć, że mamy dwie ręce, a każda z nich składa się z pięciu palców. W ośmiu palcach mamy po trzy paliczki, natomiast dwa kciuki składają się z dwóch paliczków, każda z tych liczb są liczbami ciągu a stosunek długości środkowego palca do małego jest równa liczbie \(φ\)(I. Lehmann 2014). Pismo Science w 2010 roku ogłosiło, że wykryto obecność złotego podziału w atomowej skali w kryształach niobanu kobaltu.(Golden ratio..., 2010)

Złoty podział w sztuce

w 1509 Luca Pacioli, matematyk, franciszkański mnich oraz pasjonat sztuki opublikował trzytomowe dzieło De Divina Proportione, w którym zanurza się w matematyczny aspekt złotego podziału. De Divina Proportione miała ogromy wpływ na architektów i artystów. Mimo że powstała dopiero w XVI w. to już starożytni Grecy znali złoty podział w oparciu o który powstał Partenon. Grecy nie byli jedyną starożytną cywilizacją wykorzystującą boską proporcję w architekturze, Egipcjanie budując piramidy opierali się właśnie na niej. Może o tym świadczyć fakt że stosunek długości bocznej ściany piramidy do długości połowy podstawy daję nam w przybliżeniu \(φ\). W XVI w. filozof Heinrich Agrippa na pentagramie wpisanym wkoło narysował człowieka, co jest sugeruje związek z boską proporcją (The knight..., 1996). Wybitny człowiek renesansu Leonardo da Vinci wielokrotnie korzystał z złotego podziału w jego dziełach. Przykładowo Zdaniem F. Corbalán "W ostatniej wieczerzy złoty prostokąt określa zarówno wymiary stołu, jak i rozmieszczenie Chrystusa oraz jego uczniów wokół stołu. Znając złotą proporcję, widzimy, że podlegają jej także ściany pokoju oraz okna w tle obrazu"(F. Corbalán 2010, s106). Złoty podział dostrzeżono również w muzyce w dziełach Jana Sebastiana Bacha. Złota proporcja pojawia się tam w budowie frazy oraz w przebiegu i harmonice linii melodycznych pojedynczych instrumentów.


Bibliografia

  • Corbalán F.(2010),Złota proporcja. Matematyczny język piękna, RBA Hiszpania
  • Ghyka M. (2001), Złota liczba, TAiWPN Universitas Kraków
  • Golden ratio discovered in a quantum world (2010) Eurekalert'
  • Górny T. (2011) Zasada złotego cięcia a literatura, "Ruch iteracki", nr 6
  • Lehman I., Posamentier S. A. (2014), Niezwykłe liczby Fibonacciego. Piękno natury, potęga matematyki, Wydawnictwo Prószyński i S-ka, Warszawa
  • Livio M. (2002), The Golden Ratio: The Story of Phi The World’s Most Astonishing Number, Broadway Books New York
  • Sadowski P. (1996), The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight University of Delaware Press, s. 124.

Autor: Jakub Zelek