Twierdzenie graniczne

Twierdzenie graniczne jest to tak naprawdę streszczeniem kliku odkrywanych we wczesniejszych latach twierdzeń. Poczatek temu dało odkrycie Abrahama de Moivre`a rozkładu normalnego jako rozkładu granicznego dla rozkładu dwumianowego. Stwierdzenie to gdy n roznie nieograniczenie, jest szczególnym przypadkiem centralnego twierdzenia granicznego. Chociaż twierdzenie to jest zwiazane z nazwiskiem Lapleace`a, to po raz pierwszy zostało udowodnione i sformułowano bardziej dokładna definicję na początku XX wieku przez Liapunow, w roku 1902. Dopiero w 1922 twierdzenie to zostało sformułowane w takiej formie jak jest uzywane w statystyce do dziś a dokonał tego Lindeberg. Dowód na prawidłowosc warunków zachodzenia tego twierdzenia w 1935 W. Feller w książce An Introduction to Probability and its Applications.

Definicja twierdzenia granicznego

D. Aczel sformułował definicję centralnego twierdzenia granicznego: "jeżeli próbę z populacji o sredniej µ i skończinym odchyleniu standardowym f, to rozkład sredniej z próby, \overline X, daży do rozkładu normalnego o sredniej µ i odchyleniu standardowym σ\sqrt{n}, gdy liczebnosć próby wzrasta nieograniczenie, czyli dla "dostatecznie dużych n":

X ~ N (μ σ ⊃ 2)

Centralne twierdzenie graniczne jest jednym z najwazniejszych osignięć teorii statystyki. W jego złożeniu polega na zapewnieniu rozkładowi normalnemu centralnego miejsca w rachunku prawdopodobieństwa jak i w metodzie reprezentacyjnej. Najprosciej tłumaczac twierdzenie to można zdefiniować w następujacy sposób. Zakładajac, że jeżeli n niezależnych zmiennych losowych ma skończone wariancje, to zmienna losowa będaca ich suma, wyrażona w postaci - > zmiennej standaryzowanej ma rozkład asymptotycznie normalny, gdy n dąży do nieskończonosci.

Co ważne w tym twierdzeniu warunkiem koniecznym jak i wystarczajacym prawdziwosci twierdzenia, musi być zapewnione, aby żadna z wariancji zmiennych losowych nie była zbyt duża w porównaniu z suma wariancji tych zmiennych.

Twierdzenie graniczne zdecydowanie zasługuje na uwagę, ponieważ stwierdza zmierzanie rozkładu sredniej z próby do rozkładu normalnego niezależnie od rozkładu z populacji, z której próba została pobrana. Twierdzenie to pozwala również na ustalenie prawdopodobieństwa odbiegania wartości (duze X z kreseczka) na określoną odległość od średniej populacji, µ, której ${\overline {X}}$ jest estymatorem.

Zastosowania twierdzenia granicznego

Twierdzenie graniczne jest niezwykle użyteczne w wielu dziedzinach, umożliwiając estymację parametrów populacji na podstawie próby, testowanie hipotez, modelowanie danych i predykcję oraz analizę ryzyka finansowego i ocenę wartości aktywów. Ponadto, znajduje zastosowanie w badaniach naukowych, takich jak medycyna, psychologia, socjologia i wiele innych dziedzin.

W przypadku estymacji parametrów populacji na podstawie próby, twierdzenie graniczne umożliwia nam wyznaczenie przedziału ufności dla estymatora, co pozwala nam oszacować nieznane parametry na podstawie dostępnych danych. Jest to szczególnie przydatne w przypadku, gdy nie mamy pełnej informacji o populacji i musimy opierać się na próbie.

Testowanie hipotez jest kolejnym ważnym zastosowaniem twierdzenia granicznego. Pozwala nam ono na weryfikację naszych założeń na podstawie próby. Dzięki temu możemy sprawdzić, czy nasze wyniki są statystycznie istotne i czy różnice, które obserwujemy, nie są wynikiem czystego przypadku.

Modelowanie danych i predykcja to kolejna dziedzina, w której twierdzenie graniczne znajduje zastosowanie. Pozwala nam ono na budowanie modeli na podstawie dostępnych danych i prognozowanie przyszłych wartości. Jest to niezwykle przydatne w wielu dziedzinach, takich jak ekonomia, finanse czy marketing.

Analiza ryzyka finansowego i ocena wartości aktywów to kolejne obszary, w których twierdzenie graniczne jest niezwykle przydatne. Pozwala ono na wyznaczanie ryzyka inwestycji oraz ocenę wartości aktywów na podstawie dostępnych danych. Dzięki temu możemy podejmować bardziej świadome decyzje inwestycyjne i minimalizować ryzyko strat.

Wreszcie, twierdzenie graniczne znajduje szerokie zastosowanie w badaniach naukowych, takich jak medycyna, psychologia, socjologia i wiele innych dziedzin. Pozwala ono na analizę danych, identyfikację zjawisk i odkrywanie nowych zależności. Dzięki temu możemy lepiej rozumieć świat i podejmować lepsze decyzje.

Warunki spełnienia twierdzenia granicznego

Aby twierdzenie graniczne było spełnione, muszą być spełnione określone warunki. Pierwszym z nich są warunki dotyczące rozkładu populacji. Przykładowo, zmienne losowe muszą być niezależne od siebie, rozkład musi być symetryczny i niezbyt skośny, a także musi być spełniona tzw. ciągłość rozkładu.

Kolejnymi warunkami są warunki dotyczące liczby próbek. Liczba próbek musi zbiegać do nieskończoności, aby twierdzenie graniczne mogło być stosowane. Im większa liczba próbek, tym dokładniejsze estymacje parametrów populacji możemy uzyskać.

Warunki dotyczące wariancji próbek są również istotne. Porównanie wariancji próbek do sumy wariancji populacji pozwala na określenie, czy próbka jest reprezentatywna dla populacji. Im mniejsze różnice między wariancją próbek a sumą wariancji populacji, tym bardziej reprezentatywna jest próbka.

Kolejne warunki dotyczą zależności między próbkami. Próbki powinny być niezależne od siebie, tzn. zmienne losowe nie powinny mieć wpływu na siebie nawzajem. Ponadto, brak autokorelacji i tzw. niezależność warunkowa są również ważnymi warunkami do spełnienia.

Ostatnim warunkiem są warunki dotyczące rozkładu próbek. Podobnie jak w przypadku rozkładu populacji, próbki nie powinny być zbyt skośne ani rozkład nie powinien mieć zbyt dużych skoków. Warunek ciągłości rozkładu próbek jest również istotny dla spełnienia twierdzenia granicznego.

Rozszerzenia twierdzenia granicznego

Twierdzenie graniczne można rozszerzyć na wiele różnych przypadków. Poza standardowym rozkładem normalnym, można zastosować je również do innych rozkładów populacji, takich jak rozkład Poissona, rozkład wykładniczy czy rozkład gamma. To umożliwia nam analizę danych, które nie spełniają założeń dotyczących rozkładu normalnego.

Kolejnym rozszerzeniem twierdzenia granicznego jest jego zastosowanie dla innych statystyk. Oprócz estymatorów, można go zastosować do innych statystyk, takich jak suma zmiennych losowych czy iloczyn zmiennych losowych. To umożliwia nam analizę innych charakterystyk populacji i przeprowadzanie bardziej zaawansowanych analiz statystycznych.

Twierdzenie graniczne może być również zastosowane w przypadkach, gdy próbki nie są niezależne. Przykładem takiego przypadku są próby zależne w badaniach longitudinalnych, gdzie mamy do czynienia z pomiarami w różnych momentach czasowych. Innym przykładem są próby grupowe w badaniach wielopoziomowych, gdzie mamy do czynienia z danymi zebranymi na różnych poziomach analizy. Twierdzenie graniczne może być dostosowane do tych przypadków, umożliwiając analizę danych zależnych.

W przypadku, gdy rozkład populacji nie jest znany, twierdzenie graniczne może być wykorzystane do estymacji parametrów populacji. Istnieją różne metody estymacji, które wykorzystują twierdzenie graniczne do oszacowania nieznanych parametrów na podstawie dostępnych danych.

Ostatnim rozszerzeniem twierdzenia granicznego jest jego zastosowanie w kontekście wielowymiarowych zmiennych losowych i wielowymiarowych prób. Pozwala to na analizę danych, które mają więcej niż jedną zmienną losową. Jest to szczególnie przydatne w przypadku analizy dużych zbiorów danych, gdzie mamy do czynienia z wieloma zmiennymi.

Twierdzenie graniczne jest narzędziem w analizie danych i statystyce. Jego zastosowanie pozwala na dokładniejsze oszacowanie parametrów populacji, testowanie hipotez, modelowanie danych i wiele innych analiz statystycznych. Dzięki temu możemy lepiej rozumieć świat i podejmować lepsze decyzje.

Twierdzenie graniczne — artykuły polecane

Estymator — Estymator nieobciążony — Przedział ufności — Brzytwa Ockhama — Estymacja — Test zgodności chi-kwadrat — Analiza regresji — Poziom istotności — ANOVA

Bibliografia

• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Kendall M., Buckland W. (1975), Słownik terminów statystycznych, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa

Autor: Hubert Gąsienica