Twierdzenie graniczne

Twierdzenie graniczne
Polecane artykuły

To co nazywane jest Twierdzeniem granicznym jest tak naprawdę streszczeniem kliku odkrywanych we wczesniejszych latach twierdzeń. Poczatek temu dało odkrycie Abrahama de Moivre`a rozkładu normalnego jako rozkładu granicznego dla rozkładu dwumianowego. Stwierdzenie to gdy n roznie nieograniczenie, jest szczególnym przypadkiem centralnego twierdzenia granicznego. Chociaż twierdzenie to jest zwiazane z nazwiskiem Lapleace`a, to po raz pierwszy zostało udowodnione i sformułowano bardziej dokładna definicję na poczatku XX wieku przez Liapunow, w roku 1902. Dopiero w 1922 twierdzenie to zostało sformułowane w takiej formie jak jest uzywane w statystyce do dziś a dokonał tego Lindeberg. Dowód na prawidłowosc warunków zachodzenia tego twierdzenia w 1935 W. Feller w książce (An Introduction to Probability and its Applications, tom 2, Wiley, New York 1971)

Definicja D.Aczel
Centralne twierdzenie graniczne- "jeżeli próbę z populacji o sredniej µ i skończinym odchyleniu standardowym f, to rozkład sredniej z próby, \overline X, daży do rozkładu normalnego o sredniej µ i odchyleniu standardowym σ\sqrt{n}, gdy liczebnosć próby wzrasta nieograniczenie, czyli dla "dostatecznie dużych n":

X ~ N (μ σ ⊃ 2)

Centralne twierdzenie graniczne jest jednym z najwazniejszych osignięć teorii statystyki. W jego złożeniu polega na zapewnieniu rozkładowi normalnemu centralnego miejsca w rachunku prawdopodobieństwa jak i w metodzie reprezentacyjnej. Najprosciej tłumaczac twierdzenie to można zdefiniować w następujacy sposób. Zakładajac, że jeżeli n niezależnych zmiennych losowych ma skończone wariancje, to zmienna losowa będaca ich suma, wyrażona w postaci -> zmiennej standaryzowanej ma rozkład asymptotycznie normalny, gdy n dąży do nieskończonosci.

Co ważne w tym twierdzeniu warunkiem koniecznym jak i wystarczajacym prawdziwosci twierdzenia, musi być zapewnione, aby żadna z wariancji zmiennych losowych nie była zbyt duża w porównaniu z suma wariancji tych zmiennych.
Twierdzenie graniczne zdecydowanie zasługuje na uwagę, ponieważ stwierdza zmierzanie rozkładu sredniej z próby do rozkładu normalnego niezależnie od rozkładu z populacji, z której próba została pobrana.
Twierdzenie to pozwala również na ustalenie prawdopodobieństwa odbiegania wartości (duze X z kreseczka) na określoną odległość od średniej populacji, µ, której \overline X jest estymatorem.

Bibliografia

  • Statystyka w zarządzaniu amir D. Aczel., str 200
  • Słownik terminów statystycznych Maurice G.Kendall, William R.Buckland, przekład Marian Kanton 1975, str 23

Autor: Hubert Gąsienica