Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki badająca prawa rządzące zjawiskami losowymi, których przebieg lub wynik nie może być ustalony przed jego wystąpieniem. Jest matematycznym fundamentem statystyki, która ma duży wpływ na sytuację kiedy konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Teoria prawdopodobieństwa swoje pierwsze zastosowanie znalazła podczas analizy gier losowych w XVII wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Początkowo teoria wykorzystywała metodę kombinatoryki, zmienne ciągłe zostały wprowadzone w późniejszym czasie. Aksjomatyzacja, dokonana przez Andriej Kołmogorow w 1933 roku zapoczątkowała współczesną teorię prawdopodobieństwa.

Pozwala nam oszacować jaka jest szansa zajścia danej sytuacji. Sytuację taką nazywamy zdarzeniem np.:

• Jaka jest szansa na wypadnięcie orła w rzucie monetą?

Są dwie możliwości orzeł lub reszka, czyli z dwóch możliwości oczekujemy jednej. Nasza szansa to $1 \over 2$ czyli 50%.

• Jaka jest szansa, że dzisiaj jest sobota?

Jest 7 dni tygodnia, więc mamy 7 szans. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dzisiaj jest sobota wynosi $1 \over 7$

Pojęcia związane z rachunkiem prawdopodobieństwa (W. Krysicki, L. Włodarski 1976, s. 400):

• Zdarzenie elementarne jako pojęcie pierwotne - w1, w2…
• Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω np.. Przy rzucie kostką Ω={ w1… w6} gdzie w1 - wypadło jedno oczko w2 - wypadło dwa oczka itd..
• Podzbiory w przestrzeni zdarzeń elementarnych zwane zdarzeniami losowymi

Rola rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa jest jednym z niezbędnych narzędzi poznawania rzeczywistości. Możemy go spotkać w różnych dziedzinach nauk, np.: w medycynie, biologii, naukach ścisłych i technicznych jak również w gospodarce. Służy jako podstawa teoretyczna statystyki, rozumianej jako nauka o metodach wnioskowania na podstawie wielokrotnie powtarzanych doświadczeń. Dokładniej mówiąc, prawdopodobieństwo wykorzystuje się do modelowania sytuacji, w których wynik eksperymentu, przeprowadzonego w tych samych okolicznościach, daje różne wyniki.

TL;DR

Rachunek prawdopodobieństwa jest dziedziną matematyki badającą zjawiska losowe. Jest podstawą statystyki i ma zastosowanie w wielu dziedzinach nauki. Pozwala oszacować szanse zajścia określonego zdarzenia. Rachunek prawdopodobieństwa wykorzystuje się do modelowania sytuacji, w których wynik eksperymentu daje różne wyniki. Może być stosowany przy podejmowaniu decyzji, a twierdzenie Bayesa i sieci bayesowskie są narzędziami pomocnymi w tym procesie.

Prawidłowość statystyczna w rachunku prawdopodobieństwa

“Aczkolwiek wyniku pojedyńczego doświadczenia losowego nie można przewidzieć, to jednak, powtarzając doświadczenie wiele razy w warunkach identycznych lub bardzo zbliżonych, zauważa się na ogół interesujące zjawisko, zwane prawidłowością statystyczną, a polegające na tym, że przy coraz większej liczbie doświadczeń losowych częstość zdarzenia dąży do pewnej stałej liczby". (R. Leitner, W.Żakowski 1976, s. 417)

Kombinatoryka w obliczaniu prawdopodobieństwa

“W dziale matematyki zwanym kombinatoryką podstawowymi pojęciami są permutacje, kombinacje oraz wariacje z powtórzeniami i wariacje bez powtórzeń". (R. Leitner, W.Żakowski 1976, s. 429)

Wpływ rachunku prawdopodobieństwa podczas podejmowania decyzji

W przypadkach trudnych do przewidzenia w przyszłości, możliwe jest określenie prawdopodobieństwa z jakim mogą wystąpić określone zdarzenia. Prawdopodobieństwo to może być ustalone w sposób obiektywny lub subiektywny. Sposób obiektywny jest określony matematycznie lub na podstawie analizy statystycznej dostępnych danych historycznych. Często obiektywne określenie prawdopodobieństwa jest niemożliwe. Wówczas musi ono być oszacowane przez ekspertów w oparciu o ich subiektywne doświadczenie. Tak określone prawdopodobieństwo obarczone jest pewnym błędem, który mimo to dostarcza potrzebne dane dla podejmujących decyzję.

Wykorzystanie twierdzenia Bayesa podczas podejmowania decyzji

“Sieci bayesowskie w sposób graficzny reprezentują probabilistyczne zależności przyczynowo-skutkowe pomiędzy różnymi zmiennymi losowymi, odpowiadające zdarzeniom lub informacjom. Jest to jedna z metod prezentacji wiedzy w systemach eksperckich, szczególnie ułatwiają wnioskowanie w warunkach niepewności. Podobnie jak inne metody sztucznej inteligencji, mogą być narzędziami wspomagającymi proces podejmowania decyzji". (A. Król 2014, s. 209,210)

“Budowa sieci bayesowskiej i diagramu wpływu modelujących dany problem decyzyjny dostarcza wydajnego narzędzia wspomagającego lub nawet automatyzującego proces podejmowania decyzji. Niezależnie od ewentualności takiego praktycznego zastosowania diagramy wpływu pozwalają na wgląd w problem decyzyjny. Można zbadać jakościowo jego strukturę, poznać zmienne mające wpływ na problem, poznać występujące przyczyny niepewności i sposoby jej redukcji. Symulacje ułatwiają rozpoznanie możliwych decyzji alternatywnych i związanych z nimi wartości spodziewanej użyteczności. Możliwe jest określenie wartości możliwej do pozyskania informacji oraz badanie wrażliwości podejmowanych decyzji na dane wejściowe". (A. Król 2014, s. 217-,218)

Rachunek prawdopodobieństwa — artykuły polecane

Model ekonometryczny — Hipoteza statystyczna — ANOVA — Analiza czynnikowa — Kwantyfikacja — Symulacja — Wnioskowanie statystyczne — Pytanie badawcze — Drzewo decyzyjne

Bibliografia

• Klęsk P. (2010), Przypomnienie elementów z rachunku prawdopodobieństwa. Naiwny klasyfikator Bayesa. Aktualizacja rozkładów wg reguły Bayesa, slajdy
• Król A. (2014), Sieci bayesowskie jako narzędzie wspomagające proces podejmowania decyzji, Zeszyty Naukowe. Organizacja i Zarządzanie/Politechnika Śląska
• Krysicki W., Włodarski L. (1976). Analiza matematyczna w zadaniach, część II, Pańswowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
• Leitner R., Żakowski W. (1976). Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie, część II wydanie jedenaste, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
• Szczepański J. (2012), Historia rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej w XVIII, XIX i XX wieku, Politechnika Warszawska, Warszawa
• Więsław W. (2015), Pierwsza polska rozprawa z rachunku prawdopodobieństwa, Śląski Przegląd Statystyczny, nr 13 (19)

Autor: Michał Gumieniak