Średnia geometryczna

Średnia geometryczna jest zaliczana do średniej klasycznej, dokonuje się za jej pomocą charakterystyki podobieństw zbiorowości ze względu na wyróżnioną cechę. Do pomiaru wykorzystuje się wszystkie wartości szeregu (Zimny A. 2010, s. 22). Pozwala na ocenę przeciętnej cechy mierzalnej w zbiorowości statystycznej (Balcerowicz-Szkutnik M., Sojka E., Szkutnik W. 2014, s. 11)

Gdy żaden z czynników nie powtarza się to średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej:

$G={\sqrt[{n}]{x_{1}*x_{2}*...*x_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

Gdy wartości zmiennej występują z różną częstością, wówczas stosuje się wzór ważony na średnią geometryczną:

$G={\sqrt[{n}]{x_{1}^{f_{1}}*x_{2}^{f_{2}}*...*x_{k}^{f_{k}}}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{f_{i}}}}$

Ponieważ wyciąganie pierwiastka wysokiego stopnia jest trudne, a liczebność szeregu n może być duża, dlatego wygodniej jest korzystać z postaci zlogarytmowanej średniej geometrycznej, tj. średniej arytmetycznej logarytmów wartości zmiennej:

$\log G={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}logx_{i}={\overline {logx}}$

Znajduje zastosowanie głównie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk. Jak można wywnioskować z wzorów, zastosowanie średniej geometrycznej ma sens, gdy x_i >0. Średnia geometryczna słabiej reaguje na wartości ekstremalne od średniej arytmetycznej. Można to uznać jako zaletę średniej geometrycznej, gdyż reaguje ona słabiej na pojedyncze, czasem przypadkowe wartości (Woźniak M. 2002, s. 36)

Cechy

Średnia geometryczna jest liczbą mianowaną, a jej miano jest takie samo, jak to, które posiadają dane, z których jest obliczana.

Średnia geometryczna wykorzystywana jest przede wszystkim wtedy, gdy ma się do czynienia z wielkościami zmieniającymi się w postępie geometrycznym, tzn. gdy kolejna wielkość w szeregu powstaje przez pomnożenie przez stały mnożnik wielkości bezpośrednio ją poprzedzającej. Z takim zjawiskiem można się spotkać np. w biologicznych populacjach, m.in. i ludzkich, stąd jej większe znaczenie w demografii. Tak więc jest ona stosowana, gdy wartości jednostek zbiorowości statystycznej mają charakter miar względnych. Używana jest także w przypadkach, gdy zjawisko wykazuje wyraźną asymetrię. Gdy brak ważkich argumentów dla pominięcia wartości ekstremalnych, wtedy średnia geometryczna jest właściwą charakterystyką centralnego skupienia.

Miary wartości

Średnia geometryczna zaliczana jest do miar wartości przeciętnej (miar położenia), które to mają wskazać wartość typową dla badanej populacji. Rozróżniamy miary wartości przeciętnej klasyczne i pozycyjne.

Średnia geometryczna zaliczana jest do miary wartości przeciętnej klasycznej. Do miary przeciętnej klasycznej możemy zaliczyć także średnie:

• arytmetyczną,
• harmoniczną.

To którą średnią mamy wybrać do obliczeń rozstrzyga rodzaj posiadanych danych (Stanisławek J. 2010, s. 42)

Zastosowanie

Średnią geometryczną stosujemy do obliczenia przeciętnego tempa wzrostu - oczywiście jeśli dane statystyczne informują o średnich przyrostach badanej wielkości w stosunku do roku (okresu) poprzedniego. Często używanym przykładem są informacje dotyczące wzrostu dochodu narodowego.

W innych sytuacjach raczej używa się średniej arytmetycznej i harmonicznej. Średnią geometryczną stosuje się również przy badaniu średniego tempa zjawisk, których zmiany przedstawione są za pomocą szeregów dynamicznych. Jeżeli wartości dla których obliczamy średnią nie różnią się od siebie, to wtedy przyjmujemy zależność, że średnia arytmetyczna równa się średniej geometrycznej i średniej harmonicznej (Stanisławek J. 2010, s. 42-44)

Średnia geometryczna pozwala także na liczenie szeregów czasowych. Zbiór indeksów łańcuchowych charakteryzujących dynamikę określonego zjawiska w dłuższym czasie uogólniony może zostać za pomocą rachunku średniej geometrycznej (Balcerowicz-Szkutnik M., Sojka E., Szkutnik W. 2014, s. 100)

Porównanie średniej geometrycznej z innymi miarami przeciętnych

Porównanie z średnią arytmetyczną

Średnia geometryczna i średnia arytmetyczna są dwoma różnymi miarami przeciętnymi, które mają różne zastosowania i interpretacje.

Średnia arytmetyczna, zwana również średnią algebraiczną, jest najbardziej popularną miarą przeciętną. Oblicza się ją poprzez dodanie wszystkich wartości w zbiorze i podzielenie sumy przez liczbę elementów. Średnia ta jest przydatna w sytuacjach, gdy chcemy poznać ogólną wartość danej cechy dla całej populacji. Na przykład, jeśli mamy dane dotyczące wieku osób w danym mieście, średnia arytmetyczna pozwoli nam oszacować przeciętny wiek mieszkańców.

Średnia geometryczna natomiast jest bardziej odpowiednia w przypadku, gdy mamy do czynienia z wartościami, które rosną lub maleją w sposób wykładniczy. Oblicza się ją poprzez pomnożenie wszystkich wartości w zbiorze i podniesienie iloczynu do potęgi odwrotnej do liczby elementów. Wynik jest pierwiastkiem stopnia równym liczbie elementów. Średnia geometryczna jest szczególnie przydatna w dziedzinach takich jak finanse, gdzie występują wzrosty lub spadki procentowe, np. w przypadku inwestycji. Dzięki tej miarze można obliczyć roczne stopy zwrotu inwestycji.

Przykładem, który ilustruje różnicę między średnią geometryczną a średnią arytmetyczną, może być sytuacja, w której inwestujemy na giełdzie. Jeśli nasze inwestycje mają różne stopy zwrotu w różnych okresach, to średnia arytmetyczna nie uwzględnia skali tych zwrotów. Natomiast średnia geometryczna bierze pod uwagę procentowe zmiany wartości i daje nam bardziej realistyczną ocenę całkowitej stopy zwrotu.

Porównanie z średnią harmoniczną

Średnia geometryczna i średnia harmoniczna są innymi miarami przeciętnymi, które również mają różne zastosowania i interpretacje.

Średnia harmoniczna jest obliczana poprzez podzielenie liczby elementów przez sumę odwrotności wartości w zbiorze, a następnie odwrócenie wyniku. Ta miara jest przydatna w sytuacjach, gdzie zależy nam na uwzględnieniu wpływu niskich wartości w zbiorze. Na przykład, średnia harmoniczna jest często stosowana przy obliczaniu średniej prędkości, gdy interesuje nas, jaki dystans pokonaliśmy w danym czasie.

Średnia geometryczna różni się od średniej harmonicznej przede wszystkim sposobem obliczenia. Ponadto, średnia geometryczna jest bardziej odporna na wartości skrajne niż średnia harmoniczna. W przypadku średniej harmonicznej, bardzo niskie wartości mogą dominować nad wysokimi wartościami, co prowadzi do znacznego zaniżenia wyniku.

Przykładem, który ilustruje różnicę między średnią geometryczną a średnią harmoniczną, może być sytuacja, w której mamy dane dotyczące prędkości samochodu. Jeśli jedziemy z różnymi prędkościami, to średnia harmoniczna będzie bardziej odpowiednia, ponieważ uwzględnia wpływ niskich prędkości na ogólną prędkość. Natomiast średnia geometryczna nie bierze pod uwagę czasu, więc może nie być dokładna w przypadku, gdy interesuje nas, jak dużo czasu zajęło nam pokonanie danej trasy.

Średnia geometryczna — artykuły polecane

Skala interwałowa — Rozkład normalny — Średnia — Dominanta — Metody statystyczne — Percentyl — Współczynnik determinacji — Obszar odrzucenia — Skala porządkowa

Bibliografia

• Balcerowicz-Szkutnik M., Sojka E., Szkutnik W. (2014), Statystyka opisowa dla ekonomistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, Katowice
• Olek B., Woźniak H., Stanisz J. (2014), Metody statystyczne stosowane do wyznaczania parametrów geotechnicznych, Przegląd Geologiczny, vol. 62, nr 10/2
• Stanisławek J. (2010), Podstawy statystyki, Oficyna Wydawnicza Politechnika Warszawska, Warszawa
• Steczkowski J. (2005), Opis statystyczny, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania, Rzeszów
• Woźniak M. (2002), Statystyka ogólna, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków
• Zimny A. (2010), Statystyka opisowa Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie, Konin

Autor: Małgorzata Kołodziejczyk, Ewa Wójcik