Wariancja składnika resztowego

Wariancja składnika resztowego
Polecane artykuły
Regresja liniowa Błąd bezwzględny Współczynnik korelacji rang Spearmana Korelacja Wartość oczekiwana Wariancja Prawo wielkich liczb Analiza regresji Średnia

Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych
wokół teoretycznych (zwana wariancją resztową)

Jeśli przyjmiemy, że funkcja regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej
niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej
prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie działanie

czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.
Miarą wahań przypadkowych jest właśnie wariancja resztowa .

$s^{2}\left(u_{i})\right)$ =${\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}{\left(n-k\right)}}$ =${\frac {\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}}{n-k}}$

gdzie n jest liczebnością próby, a k- liczbą szacowanych parametrów funkcji regresji
W przypadku funkcji regresji X względem Y wzór na wariancję resztową przyjmuje postać:

$s^{2}\left(z_{i}\right)$= ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x_{i}}}\right)^{2}}{\left(n-k\right)}}$= ${\frac {\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}}{n-k}}$

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli odchylenie standardowe składnika resztowego)
informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych
otrzymanych z funkcji regresji . W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego
skłądnika resztowego statystyczna dobroć dopasowania danej funkcji regresji do danych
empirycznych maleje. Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:

$s^{2}\left(u_{i}\right)$ = $s^{2}\left(y\right)$- $s^{2}\left({\bar {y_{i}}}\right)$

oraz

$s^{2}\left(z_{i}\right)$= $s^{2}\left(x\right)\left[1-r_{x,y}\right]$

Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji
wartości teoretycznych oraz wariancji resztowej .

TL;DR

Artykuł omawia pojęcie wariancji resztowej w analizie regresji. Wariancja resztowa mierzy odchylenia wartości empirycznych od wartości teoretycznych w funkcji regresji. Wartość odchylenia standardowego informuje o dopasowaniu funkcji regresji do danych. Artykuł różni także składnik resztowy od składnika losowego i omawia klasyczny model Sharpa.

Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym

Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji
oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego $S^{2}$(u) a wariancją składnika losowego $\sigma ^{2}$($\xi$).
Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:

$u_{i}=f\left(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},\xi \right),$

gdzie:

• c- to błędy systematyczne
  • $c_{1}$- błąd wynikający z przyjęcia danej funkcji regresji
  • $c_{2}$- błąd wynikający z nieuwzględnienia innych (poza daną) zmiennych objaśniających
  • $c_{3}$- błąd wynikający z pomiaru, agregacji, przyjętych definicji itp
  • $c_{4}$- błąd wynikający z innych (nielosowych) przyczyn
• $\xi$- błąd o charakterze przypadkowym- (składnik losowy)

Jest oczywiste, że funkcja regresji ${\bar {y_{i}}}$=f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",
im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a
wariancja składnika resztowego $S^{2}$(u) musi być większa od wariancji składnika losowego $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$. $S^{1}$(u) jest bowiem punktową oceną $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$. Im model regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej
rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego
(różnica między $S^{2}$(u) a $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$ rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że
łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$.
Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności
zjawisk gospodarczo- społecznych .

Klasyczny model Sharpa

Dla każdego równania oszacowanego MNK (Metoda Najmniejszych Kwadratów) obiera się dwa parametry struktury stochastycznej modelu, które służą jako ocena stabilności modelu. Są to: odchylenie standardowe składnika resztowego i współczynnik korelacji wielorakiej . Odchylenie standardowe składnika resztowego jest niezbędne do wyznaczenia linii ograniczających, jeśli chodzi o zmiane stóp zwrotu akcji. Do stóp zwrotu akcji obliczonych na podstawie modelu dodaje się podwojoną wartość odchylenia standardowego składnika resztowego. W ten sposób otrzymuje się górną linię sygnałową. Dolna linia sygnałowa powstaje poprzez różnice cen akcji podwojonego odchylenia standardowego składnika resztowego .

Bibliografia

• Goczek Ł., (2012.) Metody ekonometryczne w modelach wzrostu gospodarczego, Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego, Warszawa
• Krzysztofiak M. Luszmoewicz A., (1976.) "Statystyka", PWE, Warszawa
• Makać W. Urbanek-Krzysztofiak D., (2004.) "Metody opisu statystycznego", Wydawnictwo UG, Gdańsk
• Piontek K., (2002.) Pomiar ryzyka metodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z "grubymi ogonami", Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczne we Wrocławiu, Wrocław
• Sobczyk M., (2011.) "Statystyka", PWN, Warszawa
• Tarczyński W., (2009.)O pewnym sposobie wyznaczania współczynnika beta na polskim rynku kapitalowym, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 15, 199-213, Uniwersytet Szczeciński

Przypisy

Autor: Nowacka Bernadeta Szymon Banach