Estymator zgodny

Estymator jest zgodny w przypadku gdy prawdopodobieństwo, że jego wartosć będzie zbliżona do wartosci szacowanego parametru, wzrasta wraz z podniesieniem liczebnosci próby.

Gdy mowa o estymatorze zgodnym silnie, wtedy jest on silnie zbieżny do swojej granicy w sensie prawdopodobieństwa. Ogólnie rzecz biorac chodzi o to, aby większa próba poprawiła precyzję szacunku. Własnosć zgodnosci oznacza, że dla dostatecznie dużych liczebnosci próby estymator przyjmuje z dużym prawdopodobieństwem wartosci bliskie estymowanemu parametrowi 0.

Estymator Zn parametru 0 nazywa się estymatorem zgodnym, jeżeli spełnia on równosć

P {|Zn-0| < ε} = 1,

granica n daży do nieskończonosci dla każdego ε>0

Z definicji estymatora zgodności wynika, żę gdy n dąży do nieskończoności, ciag ocen (Zn) uzyskiwanych za pomocą takiego estymatora jest stochastycznie zbieżny (wg. prawdopodobieństwa) do oszacowanego parametru 0. co zapisuje się w następujacy sposób.

$P\lim _{n\to \infty }Zn=0$

Warunki konieczne i wystarczające dla zgodności estymatora

Głównym celem estymacji w statystyce jest oszacowanie nieznanych parametrów populacji na podstawie dostępnych danych próbkowych. Estymator nazywany jest zgodnym, jeśli dla rosnącej liczby obserwacji z próby jego wartość zbliża się do wartości estymowanego parametru populacji. Innymi słowy, estymator jest zgodny, jeśli jest asymptotycznie nieobciążony i jego wariancja dąży do zera w miarę wzrostu liczby obserwacji.

Warunki konieczne dla zgodności estymatora są zależne od rodzaju badanego parametru. Ogólnie rzecz biorąc, estymator musi spełniać następujące warunki:

• Nieobciążenie: Estymator musi być nieobciążony, czyli średnia wartość estymacji musi być równa wartości estymowanego parametru.
• Zbieżność w rozkładzie: Estymator musi dążyć do estymowanego parametru w rozkładzie, gdy liczba obserwacji z próby rośnie do nieskończoności.

Warunki wystarczające dla zgodności estymatora różnią się w zależności od rodzaju estymowanego parametru. Ogólnie rzecz biorąc, estymator jest zgodny, jeśli spełnia następujące warunki:

• Warunki regularności: Estymator musi spełniać odpowiednie warunki regularności, takie jak istnienie pochodnej pierwszego rzędu, ograniczenia momentów i inne warunki konkretnego modelu statystycznego.
• Warunki identyfikowalności: Estymator musi być w stanie jednoznacznie identyfikować estymowany parametr na podstawie dostępnych danych próbkowych.

Do sprawdzania zgodności estymatora można zastosować różne metody matematyczne, takie jak:

• Metoda momentów: Polega na porównaniu teoretycznych momentów populacji z momentami estymatora. Jeśli estymator spełnia warunki konieczne i wystarczające dla zgodności, to momenty estymatora będą równoważne momentom populacji.
• Metoda największej wiarogodności: Polega na maksymalizacji funkcji wiarogodności, która opisuje prawdopodobieństwo uzyskania obserwacji przy danym estymatorze. Estymator maksymalnej wiarogodności jest zgodny, jeśli spełnia warunki konieczne i wystarczające.

Przykłady estymatorów, które spełniają warunki konieczne i wystarczające dla zgodności, to:

• Średnia arytmetyczna: Estymator zgodny dla średniej populacji jest nieobciążony i zbieżny w rozkładzie.
• Estymator wariancji: Estymator zgodny dla wariancji populacji jest nieobciążony i zbieżny w rozkładzie.
• Estymator proporcji: Estymator zgodny dla proporcji populacji jest nieobciążony i zbieżny w rozkładzie.
• Estymator mediany: Estymator zgodny dla mediany populacji jest nieobciążony i zbieżny w rozkładzie.
• Estymator regresji liniowej: Estymator zgodny dla regresji liniowej jest nieobciążony i zbieżny w rozkładzie.

Wpływ rozkładu próby na zgodność estymatora

Zgodność estymatora może być różna w zależności od rozkładu próby. W przypadku, gdy próba pochodzi z rozkładu normalnego, estymator może być bardziej zgodny, ponieważ wiele estymatorów zostało opracowanych z założeniem normalności próby. Jednakże, istnieją również estymatory, które są zgodne dla niestandardowych rozkładów próby.

Normalny rozkładu próby

Warunki, które wpływają na zgodność estymatora w przypadku normalnego rozkładu próby to:

• Warunek niezależności: Obserwacje z próby muszą być niezależne od siebie, aby estymator mógł być zgodny.
• Warunek normalności: Rozkład próby musi być zbliżony do rozkładu normalnego, aby estymator mógł być zgodny.
• Warunek homogeniczności wariancji: Wariancja próby musi być stała, aby estymator mógł być zgodny.

Niestandardowy rozkład próby?

Warunki, które wpływają na zgodność estymatora w przypadku niestandardowego rozkładu próby są bardziej złożone i zależą od konkretnego rozkładu. Niektóre z tych warunków to:

• Warunek asymptotycznej normalności: Estymator musi dążyć do rozkładu normalnego w miarę wzrostu liczby obserwacji z próby.
• Warunek ograniczenia momentów: Estymator musi spełniać odpowiednie ograniczenia momentów, aby być zgodnym.
• Warunek identyfikowalności: Estymator musi być w stanie jednoznacznie identyfikować estymowany parametr na podstawie dostępnych danych próbkowych.

Metody analizy wpływu rozkładu próby na zgodność estymatora?

Do analizy wpływu rozkładu próby na zgodność estymatora można zastosować różne metody, takie jak:

• Testy normalności: Polegają na sprawdzeniu, czy rozkład próby jest zbliżony do rozkładu normalnego.
• Metody bootstrap: Pozwalają na generowanie wielu próbek z danej próby i analizę rozkładu estymatora na podstawie tych próbek.
• Metody symulacyjne: Polegają na symulacji losowych prób z różnych rozkładów i analizie zgodności estymatora dla tych prób.

Przykłady badań, które pokazują wpływ rozkładu próby na zgodność estymatora to:

• Badania symulacyjne: Przeprowadzane są symulacje losowych prób z różnych rozkładów i analizowane jest zachowanie estymatorów w zależności od rozkładu próby.
• Analiza danych rzeczywistych: Badane są rzeczywiste dane próbkowe, a estymatory są porównywane dla różnych rozkładów próby.
• Porównanie teoretyczne: Wykorzystuje się teorię statystyczną do analizy matematycznej wpływu rozkładu próby na zgodność estymatora.

Wpływ rozkładu próby na zgodność estymatora jest istotnym zagadnieniem w statystyce, ponieważ może mieć wpływ na wiarygodność oszacowań parametrów populacji. Dlatego ważne jest, aby dobrze zrozumieć warunki konieczne i wystarczające dla zgodności estymatora oraz metody analizy wpływu rozkładu próby na zgodność estymatora.

Estymator zgodny — artykuły polecane

Estymator nieobciążony — Estymator obciążony — Przedział ufności — Krańcowa stopa substytucji — Estymator — Test zgodności chi-kwadrat — Twierdzenie graniczne — Funkcja użyteczności — Złoty środek

Bibliografia

• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Gajek L., Kałuszka M. (1993), Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Greń J. (1984), Statystyka matematyczna. Modele i zadania, PWN, Warszawa
• Kendall M., Buckland W. (1975), Słownik terminów statystycznych, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa

Autor: Hubert Gąsienica