Średnia harmoniczna

Z Encyklopedia Zarządzania
Średnia harmoniczna
Polecane artykuły

Średnią harmoniczną należy do miar klasycznych. Używana jest w statystyce (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km), pracochłonność lub w wyrażeniu ceny jednostkowej za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).

Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.

Wzory

W zależności od wybranego kryterium uporządkowania zebranych danych tj. szeregów statystycznych wyróżnia się dwie formuły do obliczenia średniej harmonicznej:

  • Dla szeregu szczegółowego dla liczb średnia jest wyrażona wzorem:

gdzie to liczebność cech próby, zaś to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).

  • Szeregi rozdzielcze dzielimy na punktowe i przedziałowe. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:

gdzie to liczebność i-tej próby, to wartość badanej cechy w i-tej klasie, stanowi liczbę klas (przedziałów klasowych).

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych, należy dodatkowo wyznaczyć środki przedziałów klasowych , które wstawiamy do powyższego wzoru w miejsce konkretnych wariantów cechy . Należy również pamiętać o odpowiednim doborze jednostek tj. liczebności klas (wag). Wagę stanowi licznik jednostki natężenia np. dla cen (zł/kg) - wagą jest zł, dla produktywności (szt/h) - wagą jest ilość wytworzonych wyrobów (Michalski T. 2004, s. 104-105).

Przykładowe zadania

Zadanie 1. Pracownicy produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie wyrobu gotowego, a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.

Wykonanie jednego wyrobu gotowego zajmuje średnio 15 minut.

Sprawdzenia poprawności wyniku można dokonać poprzez obliczenie ilości sztuk wyrobu gotowego wytworzonego przez każdego pracownika w danym czasie. I tak, w ciągu 3 godzin, czyli 180 minut, dwóch pracowników wykonało po 9 sztuk wyrobu gotowego, trzeci - 12 sztuk, zaś ostatni - 18 sztuk. Łącznie wykonali 48 sztuk wyrobu gotowego w ciągu 720 minut. Średni czas wykonania tego wyrobu obliczymy:

Zadanie 2. Na targowisku sprzedano za 100zł jabłka w cenie 2zł/kg oraz za 300zł jabłka w cenie 1,50zł/kg. Należy obliczyć przeciętną cenę jabłek na targowisku.

W zadaniu mamy do czynienia z jednostkami względnymi (zł/kg), zatem zastosuje się średnią harmoniczną dla szeregu rozdzielczego punktowego. Wyróżnia się dwie klasy - jedna 1,50zł/kg mierzona wartością 300zł, druga - 2zł/kg mierzona wartością 100zł. Obliczenia prezentują się następująco:

Średnia cena jabłek na targowisku wyniosła 1,6zł/kg (Michalski T. 2004, s. 105).

Bibliografia

  • Antoniewicz R. (2005). O średnich i przeciętnych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
  • Fałda B., Zając J. (2017) Uwagi na temat średnich w ekonomii, Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych Tom XVIII/2, 2017, s. 232-241, Instytut Matematyki i Informatyki PWSZ w Chełmie
  • Kowalski J. (2006). Podstawy statystyki opisowej dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu
  • Michalski T. (2008), Statystyka, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
  • Tadeusiewicz R. (1993). Bankowa obsługa państwowych funduszy celowych w Polsce, Wydawnictwa AGH, Kraków

Autor: Piotr Wyżga