Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna
Polecane artykuły
Metody statystyczne Wariancja Mediana wzór Kwartyl Wartościowanie jakości Kwantyl Estymator nieobciążony Współczynnik korelacji rang Spearmana Test Shapiro-Wilka

Średnią harmoniczną należy do miar klasycznych. Używana jest w statystyce (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km$^{2}$), pracochłonność lub w wyrażeniu ceny jednostkowej za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).

Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.

Wzory

W zależności od wybranego kryterium uporządkowania zebranych danych tj. szeregów statystycznych wyróżnia się dwie formuły do obliczenia średniej harmonicznej:

• Dla szeregu szczegółowego ${\bar {x}}_{h}$ dla liczb $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ średnia jest wyrażona wzorem:

${\bar {x}}_{h}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.$

gdzie $n$ to liczebność cech próby, zaś $x_{i}$ to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).

• Szeregi rozdzielcze dzielimy na punktowe i przedziałowe. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:

${\bar {x}}_{h}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}}{\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {n_{i}}{x_{i}}}}}.$

gdzie $\ n_{i}$ to liczebność i-tej próby, $x_{i}$ to wartość badanej cechy w i-tej klasie, $\ k$ stanowi liczbę klas (przedziałów klasowych).

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych, należy dodatkowo wyznaczyć środki przedziałów klasowych ${\dot {x}}_{i}$, które wstawiamy do powyższego wzoru w miejsce konkretnych wariantów cechy $\ x_{i}$. Należy również pamiętać o odpowiednim doborze jednostek tj. liczebności klas (wag). Wagę stanowi licznik jednostki natężenia np. dla cen (zł/kg) – wagą jest zł, dla produktywności (szt/h) – wagą jest ilość wytworzonych wyrobów (Michalski T. 2004, s. 104-105).

Przykładowe zadania

Zadanie 1. Pracownicy produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie wyrobu gotowego, a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.

${\bar {x}}_{h}={\frac {4}{{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}}}=15minut$

Wykonanie jednego wyrobu gotowego zajmuje średnio 15 minut.

Sprawdzenia poprawności wyniku można dokonać poprzez obliczenie ilości sztuk wyrobu gotowego wytworzonego przez każdego pracownika w danym czasie. I tak, w ciągu 3 godzin, czyli 180 minut, dwóch pracowników wykonało po 9 sztuk wyrobu gotowego, trzeci – 12 sztuk, zaś ostatni – 18 sztuk. Łącznie wykonali 48 sztuk wyrobu gotowego w ciągu 720 minut. Średni czas wykonania tego wyrobu obliczymy:

${\bar {t}}={\frac {720min.}{48szt.}}=15minut$

Zadanie 2. Na targowisku sprzedano za 100zł jabłka w cenie 2zł/kg oraz za 300zł jabłka w cenie 1,50zł/kg. Należy obliczyć przeciętną cenę jabłek na targowisku.

W zadaniu mamy do czynienia z jednostkami względnymi (zł/kg), zatem zastosuje się średnią harmoniczną dla szeregu rozdzielczego punktowego. Wyróżnia się dwie klasy - jedna 1,50zł/kg mierzona wartością 300zł, druga – 2zł/kg mierzona wartością 100zł. Obliczenia prezentują się następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar x_h = \frac{300+100}{\frac1{1{,}5}\cdot 300 + \frac1{2}\cdot 100} = \frac{400}{200+50}= 1{,}6 zł/kg}

Średnia cena jabłek na targowisku wyniosła 1,6zł/kg (Michalski T. 2004, s. 105).

Bibliografia

• Antoniewicz R. (2005). O średnich i przeciętnych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
• Fałda B., Zając J. (2017) Uwagi na temat średnich w ekonomii, Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych Tom XVIII/2, 2017, s. 232 – 241, Instytut Matematyki i Informatyki PWSZ w Chełmie
• Kowalski J. (2006). Podstawy statystyki opisowej dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu
• Michalski T. (2004). Statystyka, WSiP, Warszawa
• Tadeusiewicz R. (1993). Bankowa obsługa państwowych funduszy celowych w Polsce, Wydawnictwa AGH, Kraków

Autor: Piotr Wyżga