Zmienna losowa

Pojęcie zmiennej losowej: Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa (związana z pewnym doświadczeniem), to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dając ą się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).

Definicja: Do określenia zmiennej losowej potrzebna jest przestrzeń probabilistyczna. Załóżmy więc, że dana jest dowolna przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P), a więc zmienna losową nazywamy dowolna funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, o własnościach ze zbioru liczb rzeczywistych i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.

Zmienna losowa X dana jest zbiorem:

$X:E\rightarrow \mathbb {R}$

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.: S, T, X, Y, Z, ich własności zaś odpowiednimi małymi literami: s, t, x, y, z, często ze wskaźnikami.

Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.

Natomiast jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.

TL;DR

Zmienna losowa to taka zmienna, która przyjmuje wartości liczbowe w wyniku doświadczenia. Może być dyskretna (przyjmuje wartości zbiorem policzalnym) lub ciągła (przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego). Dystrybuanta zmiennej losowej to funkcja opisująca prawdopodobieństwo przyjęcia danej wartości przez zmienną losową. Zmienne losowe mogą być charakteryzowane za pomocą wartości przeciętnej, wariancji i odchylenia standardowego.

Rodzaje zmiennych losowych

• Zmienne losowe skokowe (dyskretne)
• Zmienne losowe ciągłe

Zmienna losowa ma charakter skokowy, jeżeli zbiór możliwych jej wartości jest skończony lub nieskończony, lecz przeliczalny. Przyjmują one najczęściej wartości liczb naturalnych.

W przeciwieństwie do zmiennych skokowych zbiór możliwych wartości zmiennej losowej ciągłej jest nieprzeliczalny. Zmienna losowa ciągła jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości z pewnego przedziału liczbowego, skończonego lub nieskończonego.

Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją określoną na całym zbiorze $\mathbb {R} =(-\infty ,+\infty ),$ i jest dana wzorem:

$F(x)=P(X<x),$

Własności dystrybuanty F zmiennej X są następujące:

1. $0\leq F(x)\leq 1,$, dla każdego $x\in \mathbb {R} ,$
2. $F(x),$ jest funkcją niemalejącą,
3. $F(x),$ jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą, czyli $F(x_{0}-0)=F(x_{0}),$ dla każdego $x\in \mathbb {R} ,$
4. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,$ oraz $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1,$

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X jest to funkcja podana wzorem:

$F(x)=\sum _{x_{i}<x}p_{i},$

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja podana wzorem:

$F(x)=P(X<x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(x)dx,$,

Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia następujące warunki:

$f(x)\geq 0$,

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$,

Rozkład prawdopodobieństw jednowymiarowej zmiennej losowej

Zmienna losowa skokowa przyjmuje określoną wartość, co można traktować jako zdarzenie losowe i mierzyć prawdopodobieństwo jego realizacji. Tak więc zmienną losową X można opisać ciągiem par liczb (x₁, p₁),...,(x_k, p_k), gdzie pierwszy element oznacza możliwą wartość realizacji zmiennej losowej, a drugi prawdopodobieństwo jej realizacji, przy czym spełniony jest warunek:

$\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$

lub:

$\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$

Funkcję prawdopodobieństwa można przedstawić:

• za pomocą tabeli
• analitycznie, podając wzór przypisujący wartościom zmiennej losowej odpowiednie prawdopodobieństwa,
• za pomocą wykresu

Rozkład zerojedynkowy

Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy (dwupunktowy), jeśli jej funkcja rozkładu jest określona wzorem:

P (X=1)=p

P (X=0)=1-p=q

przy czym p+q=1

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej

Zmienne losowe mogą być charakteryzowane za pomocą pewnych stałych które opisują ją pod względem np. rozrzutu jej wartości, wartości najbardziej prawdopodobnej, kształtu histogramu lub krzywej gęstości. Najważniejsze charakterystyki liczbowe to: wartość przeciętna, wariancja i odchylenie standardowe.

Wartość przeciętna zmiennej losowej. Obliczenie wartości przeciętnej zmiennej losowej bezpośrednio za pomocą funkcji prawdopodobieństwa lub gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przedstawia następujący wzór:

$E(x)={\begin{cases}\sum _{x_{i}\in W_{x}}g(x_{i})p_{i},\\\int \limits _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx,\end{cases}},$

Wariancja zmiennej losowej. Wariancja zmiennej losowej X jest wartością przeciętną kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej i jest określona wzorami:

$D^{2}X=E(X^{2})-(EX)^{2},$

$D^{2}X=E[X-E(X)]^{2},$

Odchylenie standardowe zmiennej losowej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X jest to pierwiastek z jej wariancji i opisany jest wzorem:

$\sigma ={\sqrt {D^{2}X}},$

Zmienna losowa — artykuły polecane

Test zgodności chi-kwadrat — Wartość oczekiwana — Wariancja — Metody statystyczne — Kwantyl — Estymator obciążony — Rozkład Poissona — Percentyl — Kwartyl

Bibliografia

• Bratijczuk M., Chydziński A., (2012), Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U. (2006), Statystyka. Elementy Teorii i Zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław
• Sobczyk M. (2010), Statystyka matematyczna, C.H. Beck, Warszawa

Autor: Agnieszka Klozińska, Kinga Węgrzyn