Dystrybuanta rozkładu normalnego

Dystrybuanta to funkcja, która w sposób jednoznaczny wyznacza rozkład zmiennej losowej.

Formalnie dystrybuanta $F$ w punkcie $x\in \mathbb {R}$ jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa $X$ ma wartości mniejsze bądź równe $x$, co można zapisać w następujący sposób:

$F(x)=P(X\leq x)$ dla $x\in \mathbb {R} .$

W literaturze występuje również definicja z użyciem silnej nierówności czyli:

$F(x)=P(X<x)$ dla $x\in \mathbb {R} .$

W dalszej części artykułu przyjmować będziemy pierwszą definicję, gdyż przyjęcie jednej z definicji pociąga za sobą odpowiednie własności dystrybuanty.

Związek dystrybuanty z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

Dystrybuanta rozkładu normalnego określona jest poniższym wzorem:

$P(X\leq x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\,dx$

dla $x\in \mathbb {R} .$

Wzór ten jest konsekwencją następującego faktu:

Dla rozkładów bezwzględnie ciągłych, czyli rozkładów posiadających funkcję gęstości, a takim rozkładem jest rozkład normalny, dystrybuantę można zapisać w postaci całki:

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

dla $x\in \mathbb {R} .$

Biorąc pod uwagę, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego wyrażona jest wzorem:

$f_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

otrzymujemy podany wyżej wzór na dystrybuantę rozkładu normalnego.

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego, zwyczajowo oznaczana symbolem $\Phi$, może być wyrażona poniższym wzorem:

$\Phi (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}\,dz.$

Dystrybuanty rozkładu normalnego nie da się przedstawić w sposób jawny za pomocą funkcji elementarnych. Jednakże istnieje związek między dystrybuantą rozkładu normalnego o dowolnych parametrach a dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, zależność ta wyrażona jest następującym równaniem:

$P(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

Standardowy rozkład normalny jest rozkładem stablicowanym, zatem tablice statystyczne zawierają wartości dystrybuany dla rozkładu ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Własności

1. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, innymi słowy dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2. Skoro dystrybuantę definiujemy jako prawdopodobieństwo, to zbiorem wartości tej funkcji jest przedział od 0 do 1.
3. Proste $y=0$ oraz $y=1$ to asymptoty poziome dystrybuanty rozkładu normalnego.
4. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest funkcją ciągłą na zbiorze liczb rzeczywistych.
5. Kolejną własnością dystrybuanty rozkładu normalnego jest monotoniczność. Funkcja ta jest ściśle rosnąca, czyli dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$, jeżeli $x_{1}<x_{2}$, to spełniony jest następujący warunek $F(x_{1})<F(x_{2})$.

Ciągłość i monotoniczność dystrybuanty

Dystrybuanta rozkładu normalnego jest funkcją ciągłą i monotoniczną rosnącą. Oznacza to, że dla dowolnych dwóch wartości x1 i x2, takich że x1 < x2, zachodzi F (x1) < F (x2). Innymi słowy, im większa wartość x, tym większe prawdopodobieństwo, że losowa zmienna o rozkładzie normalnym przyjmie wartość mniejszą lub równą x.

Ciągłość dystrybuanty oznacza, że nie występują skoki ani nagłe zmiany wartości dystrybuanty dla dowolnych dwóch wartości x. Funkcja ta jest gładka i płynna, co umożliwia jej wykorzystanie w analizie danych i prognozowaniu.

Symetria dystrybuanty

Dystrybuanta rozkładu normalnego jest symetryczna względem średniej wartości rozkładu normalnego. Oznacza to, że dla dowolnej wartości x, dystrybuanta dla x jest równa 1 minus dystrybuanta dla - x.

Symetria dystrybuanty ma praktyczne znaczenie w statystyce, ponieważ umożliwia łatwe obliczanie prawdopodobieństw dla wartości znajdujących się po jednej stronie średniej wartości. Na przykład, jeśli znamy prawdopodobieństwo dla pewnej wartości x, możemy łatwo obliczyć prawdopodobieństwo dla - x, korzystając z symetrii dystrybuanty.

Zastosowanie dystrybuanty standardowej w obliczeniach statystycznych

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego jest kluczowym narzędziem w statystyce i analizie danych. Jest wykorzystywana do obliczania różnych wartości prawdopodobieństwa, przedziałów ufności, wartości krytycznych oraz do wykonywania testów statystycznych.

Na przykład, dystrybuanta standardowa jest wykorzystywana w testach związanych z hipotezami, takich jak test t-studenta, test chi-kwadrat oraz test F-Snedecora. Oprócz tego, dystrybuanta standardowa jest również wykorzystywana w analizie regresji, estymacji parametrów, oraz do wyznaczania granic przedziałów ufności dla różnych statystyk.

W praktyce, obliczenia związane z dystrybuantą standardową są ułatwione dzięki dostępności tablic statystycznych i specjalnych funkcji statystycznych w programach komputerowych. Dzięki temu, analiza danych i wykonywanie testów statystycznych jest bardziej efektywne i dokładne.

Wykorzystanie dystrybuanty rozkładu normalnego w praktyce

Obliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia wartości w danym przedziale

Dystrybuanta rozkładu normalnego pozwala nam obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia wartości w danym przedziale. Dzięki temu możemy odpowiedzieć na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym przyjmie wartość między dwoma określonymi punktami.

Przykładowo, jeśli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma wzrost między 160 a 170 cm, możemy skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego. Wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dystrybuanty dla tych dwóch punktów, co daje nam prawdopodobieństwo, że wzrost osoby mieści się w tym przedziale.

Konstrukcja przedziałów ufności

Przedziały ufności są często używane w statystyce do określania niepewności estymacji parametrów populacji na podstawie próby. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest niezwykle przydatna w konstrukcji przedziałów ufności.

Na przykład, jeśli chcemy oszacować średnią wartość danej cechy w populacji na podstawie próby, możemy skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego, aby obliczyć przedział ufności dla tego estymatora. Przedział ten określa zakres, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość parametru populacji.

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych polega na sprawdzeniu, czy dane dostarczają wystarczających dowodów, aby odrzucić pewną hipotezę na rzecz innej. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest szeroko stosowana w testach hipotez.

Na przykład, jeśli chcemy sprawdzić, czy średnia wartość pewnej cechy w populacji różni się istotnie od pewnej wartości, możemy skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego, aby obliczyć wartość p-wartości. Wartość p-wartości informuje nas o prawdopodobieństwie, że obserwowana różnica między próbą a hipotezą wynika z czystego przypadku.

Generowanie liczb losowych o rozkładzie normalnym

Generowanie liczb losowych o rozkładzie normalnym jest niezbędne w wielu symulacjach numerycznych i modelach statystycznych. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest kluczowym narzędziem do generowania takich liczb.

W praktyce, aby wygenerować liczbę losową o rozkładzie normalnym, można skorzystać z metody odwracania dystrybuanty. Polega to na wylosowaniu liczby z przedziału [0,1] i zastosowaniu odwrotnej funkcji dystrybuanty, aby przekształcić ją na wartość o rozkładzie normalnym.

Analiza regresji i prognozowanie

Analiza regresji jest wykorzystywana do modelowania zależności między zmiennymi. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest często używana jako podstawa do estymacji parametrów w modelach regresyjnych.

Ponadto, dystrybuanta rozkładu normalnego jest również przydatna w prognozowaniu. Na podstawie danych historycznych, możemy wykorzystać dystrybuantę rozkładu normalnego do estymacji przyszłych wartości i określenia przedziałów przewidywanych wartości.

Analiza ryzyka finansowego

Analiza ryzyka finansowego ma na celu ocenę prawdopodobieństwa wystąpienia straty finansowej w wyniku niekorzystnych zdarzeń. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest często stosowana w takiej analizie.

Na przykład, dystrybuanta rozkładu normalnego może być wykorzystana do obliczenia wartości w ruinie, czyli prawdopodobieństwa wystąpienia straty, która przekracza określoną wartość. Jest to istotne narzędzie w zarządzaniu ryzykiem finansowym i podejmowaniu decyzji inwestycyjnych.

Analiza czasu przeżycia

Analiza czasu przeżycia jest stosowana w medycynie, naukach społecznych i innych dziedzinach, aby zrozumieć czas, jaki upłynął do wystąpienia pewnego zdarzenia. Dystrybuanta rozkładu normalnego jest często wykorzystywana w analizie czasu przeżycia.

Przykładowo, przy estymacji mediany czasu przeżycia, można skorzystać z dystrybuanty rozkładu normalnego, aby obliczyć przedział ufności dla tej estymacji. Jest to przydatne narzędzie w badaniach naukowych i planowaniu działań mających na celu zwiększenie czasu przeżycia

Przypisy

Dystrybuanta rozkładu normalnego — artykuły polecane

Wartość bezwzględna — Przedział ufności — Estymacja — Średnia — Rozkład normalny — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Dominanta — Zmienna losowa — Kowariancja

Bibliografia

• Diez D.M., Barr C.D., Çetinkaya-Rundel M. (2015). OpenIntro Statistics: Third Edition., OpenIntro, s. 127-140
• Hellwig Z. (1998), Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Ostasiewicz W. (2012). Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer, Warszawa

Autor: Angelika Jurek