Twierdzenie graniczne
| Twierdzenie graniczne |
|---|
| Polecane artykuły |
To co nazywane jest Twierdzeniem granicznym jest tak naprawdę streszczeniem kliku
odkrywanych we wczesniejszych latach twierdzeń. Poczatek temu dało odkrycie Abrahama
de Moivre`a rozkładu normalnego jako rozkładu granicznego dla rozkładu dwumianowego.
Stwierdzenie to gdy n roznie nieograniczenie, jest szczególnym przypadkiem centralnego
twierdzenia granicznego. Chociaż twierdzenie to jest zwiazane z nazwiskiem Lapleace`a, to
po raz pierwszy zostało udowodnione i sformułowano bardziej dokładna definicję na
poczatku XX wieku przez Liapunow, w roku 1902. Dopiero w 1922 twierdzenie to zostało
sformułowane w takiej formie jak jest uzywane w statystyce do dziś a dokonał tego
Lindeberg. Dowód na prawidłowosc warunków zachodzenia tego twierdzenia w 1935 W.
Feller w książce (An Introduction to Probability and its Applications, tom 2, Wiley, New
York 1971)
Definicja D.Aczel
Centralne twierdzenie graniczne- "jeżeli próbę z populacji o sredniej µ i skończinym
odchyleniu standardowym f, to rozkład sredniej z próby, \overline X, daży do rozkładu
normalnego o sredniej µ i odchyleniu standardowym σ\sqrt{n}, gdy liczebnosć próby wzrasta
nieograniczenie, czyli dla "dostatecznie dużych n":
X ~ N (μ σ ⊃ 2)
Centralne twierdzenie graniczne jest jednym z najwazniejszych osignięć teorii statystyki. W
jego złożeniu polega na zapewnieniu rozkładowi normalnemu centralnego miejsca w
rachunku prawdopodobieństwa jak i w metodzie reprezentacyjnej. Najprosciej tłumaczac
twierdzenie to można zdefiniować w następujacy sposób. Zakładajac, że jeżeli n niezależnych
zmiennych losowych ma skończone wariancje, to zmienna losowa będaca ich suma, wyrażona
w postaci -> zmiennej standaryzowanej ma rozkład asymptotycznie normalny, gdy n dąży do
nieskończonosci.
Co ważne w tym twierdzeniu warunkiem koniecznym jak i wystarczajacym prawdziwosci
twierdzenia, musi być zapewnione, aby żadna z wariancji zmiennych losowych nie była zbyt
duża w porównaniu z suma wariancji tych zmiennych.
Twierdzenie graniczne zdecydowanie zasługuje na uwagę, ponieważ stwierdza zmierzanie
rozkładu sredniej z próby do rozkładu normalnego niezależnie od rozkładu z populacji, z
której próba została pobrana.
Twierdzenie to pozwala również na ustalenie prawdopodobieństwa odbiegania wartości (duze
X z kreseczka) na określoną odległość od średniej populacji, µ, której \overline X jest
estymatorem.
Bibliografia
- Statystyka w zarządzaniu amir D. Aczel., str 200
- Słownik terminów statystycznych Maurice G.Kendall, William R.Buckland, przekład Marian Kanton 1975, str 23
Autor: Hubert Gąsienica
