Interpolacja

Interpolacja jest to metoda numeryczna, która polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości tzw. funkcji interpolacyjnej w danym przedziale, która przyjmuje z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami. Stwierdzono, że funkcja ta jest zadaniem odwrotnym do tablicowania funkcji. Głównym zastosowanie tej funkcji uproszczenie skomplikowanych funkcji, np. całkowanie numeryczne lub w naukach doświadczalnych, gdy mamy skończoną liczbę danych a chcemy określić zależności między nimi.

Węzeł funkcji - argument funkcji, dla którego znana nam jest wartość funkcji. W praktyce skończony zbiór węzłów jest zbiorem argumentów, dla których wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika). (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 24-25)

Interpolacja wielomianowa

Metoda polegająca na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Najprostszym przypadkiem interpolacji wielomianowej jest interpolacja liniowa, która wykazuje, że dla węzłów x0 i x1 jest możliwość utworzenia funkcji liniowej, a jej wykres przechodzi przez punkty (x0, f (x0)) i (x1, f (x1)). Metoda wielomianowa oparta jest na twierdzeniu, że dla punktów x0, x1, …, xn przyjmujących wartości y0, y1, …, yn, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n, który te punkty interpoluje (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 25)

$a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}$

Interpolacja Lagrange'a

Rozszerzeniem interpolacji wielomianowej jest interpolacja Lagrange’a, nazwana od nazwiska Josepha Lagrange’a, który był pionierem w tej dziedzinie. Różni się tym, że zamiast rozwiązywania układów równań w celu znalezienia współczynników wielomianu korzystamy ze wzoru interpolacyjnego. Zatem wynik otrzymany przy liczeniu metoda Lagrange'a będzie identyczny jak przy liczeniu metodą wielomianową.

Załóżmy więc, że znamy wartość funkcji w n miejscach:

x1	x2	…	xn
f (x1)	f (x2)	…	f (xn)

Wtedy wartość funkcji w punkcie n wyznaczamy ze wzoru:

$\sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot l_{i}(x)$

gdzie: x - to argument, dla którego chcemy znaleźć wartość funkcji, yi - wartość funkcji odpowiadająca argumentowi xi

Wartość współczynnika li, wyznaczamy się ze wzoru:

$\prod _{0<j\leq n,j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{i}-x_{1}}}...{\frac {x-x_{i-1}\cdot x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i-1}\cdot x_{i}-x_{i+1}}}...{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}$

Aby wyliczyć wartości funkcji pomiędzy znanymi węzłami należy podstawić do wzoru kolejne znane nam wartości funkcji. Powstanie nam układ równań, który po rozwiązaniu da nam potrzebne współczynniki tego wielomianu (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 26-29)

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Aby zmniejszyć błąd interpolacji należy zwiększyć liczbę węzłów, jednak może to doprowadzić do wzrostu złożoności obliczeniowej, a co za tym idzie do wzrostu prawdopodobieństwa wystąpienia błędu (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 64)

W przedziale [a, b], który zawiera wszystkie n +1 węzłow interpolacji, tworzymy m przedziałów:

t_0... t_1

t_1... t_2

...

t_{m-1}... t_m

takich, że a = t_0 < t_1 <... < t_m = b

i w każdym z nich interpolujemy funkcję wielomianem interpolacyjnym (najczęściej niskiego stopnia. Połączenie tych wielomianów tworzy funkcję sklejaną.

Interpolacja Newtona

Interpolacja Newtona opiera się na równaniach interpolacyjnych Newtona-Cotesa. Równania te pozwalają na znalezienie wielomianu interpolacyjnego w postaci:

P(x) =f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1),

gdzie f[x0], f[x0, x1], ..., f[x0, x1, ..., xn] to różnice dzielone. Różnice dzielone są obliczane na podstawie wartości funkcji interpolowanej w punktach danych.

Różnice dzielone pełnią kluczową rolę w interpolacji Newtona. Są obliczane na podstawie wzoru:

f[xi, xj] =(f[xj] - f[xi]) / (xj - xi),

gdzie xi i xj to punkty danych, a f[xi] i f[xj] to wartości funkcji interpolowanej w tych punktach. Różnice dzielone można obliczyć rekurencyjnie, wykorzystując już obliczone różnice dzielone.

Interpolacja Lagrange'a

Interpolacja Lagrange'a jest inną metodą interpolacji wielomianowej. Wzór interpolacyjny Lagrange'a jest dany wzorem:

P(x) =∑(i=)^(n-1) Li(x) * yi,

gdzie Li(x) to wielomian interpolacyjny Lagrange'a zdefiniowany jako:

Li(x) =∏(j=, j≠i)^(n-1) (x - xj) / (xi - xj),

a yi to wartość funkcji interpolowanej w punkcie xi.

Przykładem interpolacji Lagrange'a może być interpolowanie funkcji sinus za pomocą 5 punktów danych. Wielomian interpolacyjny Lagrange'a będzie miał postać:

P(x) =L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + L2(x) * y2 + L3(x) * y3 + L4(x) * y4,

gdzie L0(x), L1(x), ..., L4(x) to wielomiany interpolacyjne Lagrange'a, a y0, y1, ..., y4 to wartości funkcji sinus w odpowiednich punktach danych.

Interpolacja wielomianowa przez ilorazy różnicowe

Interpolacja wielomianowa przez ilorazy różnicowe jest inną metodą interpolacji wielomianowej. Ilorazy różnicowe to wartości obliczane na podstawie punktów danych i są wykorzystywane do konstrukcji wielomianu interpolacyjnego.

Ilorazy różnicowe można obliczyć rekurencyjnie, wykorzystując następujący wzór:

f[x0, x1, ..., xn] =(f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0),

gdzie f[x0, x1, ..., xn] to iloraz różnicowy, a xi to punkt danych.

Metoda najmniejszych kwadratów

Definicja i zasady działania

Metoda najmniejszych kwadratów jest jedną z najczęściej stosowanych metod interpolacji danych. Jej głównym celem jest minimalizacja błędów pomiarowych poprzez dopasowanie funkcji matematycznej do zestawu pomiarów. Metoda ta opiera się na założeniu, że istnieje zależność liniowa między zmiennymi niezależnymi a zmienną zależną.

Zasady działania metody najmniejszych kwadratów są dość proste. Na początku należy wybrać funkcję, która będzie interpolować dane. Najczęściej używane są funkcje liniowe, kwadratowe, czy wielomianowe. Następnie, dla każdego punktu pomiarowego, oblicza się wartość funkcji interpolującej. Różnica między wartością pomiarową a wartością interpolowaną jest nazywana błędem.

Celem metody najmniejszych kwadratów jest minimalizacja sumy kwadratów błędów dla wszystkich punktów pomiarowych. Oznacza to, że szukamy takiej funkcji, która będzie najlepiej dopasowana do danych, minimalizując jednocześnie sumę kwadratów odchyleń.

Minimalizacja błędów pomiarowych przy użyciu metody najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów umożliwia minimalizację błędów pomiarowych poprzez znalezienie optymalnych wartości parametrów funkcji interpolującej. Aby to osiągnąć, stosuje się różne techniki optymalizacyjne, takie jak metoda gradientu, metoda Newtona czy metoda Gaussa.

Minimalizacja błędów pomiarowych jest ważna, ponieważ pozwala nam na uzyskanie dokładniejszych wyników interpolacji danych. Dzięki temu, możemy lepiej zrozumieć zależności między zmiennymi oraz przewidywać wartości dla nowych punktów, które nie zostały pomierzone.

Przykład zastosowania metody najmniejszych kwadratów w interpolacji danych

Przyjrzyjmy się konkretnemu przykładowi zastosowania metody najmniejszych kwadratów w interpolacji danych. Załóżmy, że mamy zestaw pomiarów temperatury w różnych punktach czasowych. Naszym celem jest znalezienie funkcji, która najlepiej opisze zależność między czasem a temperaturą.

Najpierw musimy wybrać funkcję, która będzie interpolować nasze dane. Możemy spróbować zastosować funkcję liniową, czyli prostą. Następnie, dla każdego pomiaru, obliczamy wartość funkcji liniowej. Różnicę między wartością pomiarową a wartością interpolowaną nazywamy błędem.

Kolejnym krokiem jest minimalizacja sumy kwadratów błędów. Możemy to zrobić, dostosowując wartości parametrów funkcji liniowej tak, aby suma ta była jak najmniejsza. W praktyce, używamy różnych algorytmów optymalizacyjnych, aby znaleźć optymalne wartości parametrów.

Po przeprowadzeniu analizy, możemy otrzymać funkcję liniową, która najlepiej dopasowuje się do naszych danych. Dzięki temu, możemy przewidywać temperaturę dla dowolnego punktu czasowego z dużą dokładnością.

Metoda najmniejszych kwadratów jest niezwykle przydatna w interpolacji danych. Pozwala nam na uzyskanie dokładniejszych wyników, minimalizując błędy pomiarowe. Jednakże, warto zauważyć, że metoda ta może być stosowana tylko w przypadku, gdy istnieje zależność liniowa między zmiennymi. W przypadku bardziej skomplikowanych zależności, konieczne może być zastosowanie innych metod interpolacji.

Interpolacja odwrotna

Definicja i zasady działania

Interpolacja odwrotna jest techniką matematyczną, która umożliwia znalezienie wartości argumentów dla zadanego wyniku interpolacji. W przeciwieństwie do interpolacji standardowej, która polega na znajdowaniu wartości funkcji dla zadanego argumentu, interpolacja odwrotna pozwala na znalezienie argumentu dla zadanego wyniku funkcji.

Metoda interpolacji odwrotnej opiera się na interpolacji funkcji odwrotnej do funkcji pierwotnej. W praktyce oznacza to znalezienie funkcji odwrotnej dla funkcji interpolowanej i interpolowanie tej funkcji odwrotnej, aby uzyskać wartość argumentu.

Zasady działania interpolacji odwrotnej są podobne do interpolacji standardowej. Na początku potrzebujemy zestawu punktów, które są znane dla funkcji pierwotnej. Następnie stosujemy odpowiednią metodę interpolacji, taką jak interpolacja Lagrange'a czy interpolacja Newtona, aby znaleźć funkcję interpolacyjną. Następnie znajdujemy wartość interpolowanej funkcji odwrotnej dla zadanego wyniku, co daje nam wartość argumentu.

Znajdowanie wartości argumentów dla zadanego wyniku interpolacji

Aby znaleźć wartość argumentu dla zadanego wyniku interpolacji, musimy najpierw znaleźć funkcję interpolacyjną odwrotną dla funkcji interpolowanej. Istnieją różne metody znajdowania funkcji odwrotnej, takie jak metoda Newtona czy metoda bisekcji.

Po znalezieniu funkcji interpolacyjnej odwrotnej, możemy stosować standardowe metody interpolacji, takie jak interpolacja Lagrange'a czy interpolacja Newtona, aby znaleźć wartość argumentu dla zadanego wyniku interpolacji. W przypadku interpolacji odwrotnej, używamy interpolowanej funkcji odwrotnej, a nie funkcji pierwotnej.

Warto zauważyć, że w przypadku niektórych funkcji interpolacyjnych, takich jak funkcja liniowa, interpolacja odwrotna może być prosta i można ją rozwiązać analitycznie. Jednak dla bardziej skomplikowanych funkcji interpolacyjnych, może być konieczne użycie numerycznych metod interpolacji odwrotnej.

Przykład zastosowania interpolacji odwrotnej w praktyce

Interpolacja odwrotna ma wiele praktycznych zastosowań. Jednym z nich jest rozwiązywanie równań nieliniowych. Często zdarza się, że mamy równanie, w którym znamy wynik, ale chcemy znaleźć wartość argumentu, dla którego to równanie jest spełnione. W takiej sytuacji interpolacja odwrotna może być użyta do znalezienia wartości argumentu.

Na przykład, załóżmy, że mamy równanie kwadratowe postaci y =ax^2 + bx + c, i znamy wartość y. Chcemy znaleźć wartość x, dla której to równanie jest spełnione. Możemy zastosować interpolację odwrotną, aby znaleźć wartość argumentu dla zadanego wyniku. Interpolacja odwrotna pozwoli nam więc na rozwiązanie tego równania nieliniowego.

Innym przykładem zastosowania interpolacji odwrotnej jest w dziedzinie nauk przyrodniczych, takich jak chemia, fizyka czy biologia. Często eksperymenty prowadzą do zbierania danych, które można interpolować, aby uzyskać wyniki, których nie można bezpośrednio zmierzyć. Interpolacja odwrotna pozwala na określenie wartości argumentów, które odpowiadają określonym wynikom, co jest niezwykle przydatne w tych dziedzinach.

Interpolacja — artykuły polecane

Wartość oczekiwana — Analiza regresji — Estymator nieobciążony — Regresja liniowa — Estymator — ANOVA — Test zgodności chi-kwadrat — Przedział ufności — Estymacja

Bibliografia

• Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. (2017), Metody numeryczne, Wydawnictwo WNT, Warszawa
• Pawłowski K. (2013), Interpolacje Newtona i Lagrange’a - Przykłady

Autor: Aleksandra Torba