Wariancja składnika resztowego: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 22:33, 29 paź 2023

Wariancja składnika resztowego
Polecane artykuły
Regresja liniowa Błąd bezwzględny Współczynnik korelacji rang Spearmana Korelacja Wartość oczekiwana Wariancja Prawo wielkich liczb Analiza regresji Średnia

Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych

wokół teoretycznych (zwana wariancją resztową)

Jeśli przyjmiemy, że funkcja regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej

niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej

prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie działanie

czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.

Miarą wahań przypadkowych jest właśnie wariancja resztowa ^[1].

$s^{2}\left(u_{i})\right)$ = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}{\left(n-k\right)}}$ = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}}{n-k}}$

gdzie n jest liczebnością próby, a k- liczbą szacowanych parametrów funkcji regresji

W przypadku funkcji regresji X względem Y wzór na wariancję resztową przyjmuje postać:

$s^{2}\left(z_{i}\right)$ = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x_{i}}}\right)^{2}}{\left(n-k\right)}}$ = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}}{n-k}}$

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli odchylenie standardowe składnika resztowego)

informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych

otrzymanych z funkcji regresji ^[2]. W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego

skłądnika resztowego statystyczna dobroć dopasowania danej funkcji regresji do danych

empirycznych maleje. Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:

$s^{2}\left(u_{i}\right)$ = $s^{2}\left(y\right)$ - $s^{2}\left({\bar {y_{i}}}\right)$

oraz

$s^{2}\left(z_{i}\right)$ = $s^{2}\left(x\right)\left[1-r_{x,y}\right]$

Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji

wartości teoretycznych oraz wariancji resztowej ^[3].

TL;DR

Artykuł omawia pojęcie wariancji resztowej w analizie regresji. Wariancja resztowa mierzy odchylenia wartości empirycznych od wartości teoretycznych w funkcji regresji. Wartość odchylenia standardowego informuje o dopasowaniu funkcji regresji do danych. Artykuł różni także składnik resztowy od składnika losowego i omawia klasyczny model Sharpa.

Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym

Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji

oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego $S^{2}$ (u) a wariancją składnika losowego $\sigma ^{2}$ ( $\xi$ ).

Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:

$u_{i}=f\left(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},\xi \right),$

gdzie:

c- to błędy systematyczne
- $c_{1}$ - błąd wynikający z przyjęcia danej funkcji regresji
- $c_{2}$ - błąd wynikający z nieuwzględnienia innych (poza daną) zmiennych objaśniających
- $c_{3}$ - błąd wynikający z pomiaru, agregacji, przyjętych definicji itp
- $c_{4}$ - błąd wynikający z innych (nielosowych) przyczyn
$\xi$ - błąd o charakterze przypadkowym- (składnik losowy)

Jest oczywiste, że funkcja regresji ${\bar {y_{i}}}$ =f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",

im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a

wariancja składnika resztowego $S^{2}$ (u) musi być większa od wariancji składnika losowego $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$ . $S^{1}$ (u) jest bowiem punktową oceną $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$ . Im model regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej

rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego

(różnica między $S^{2}$ (u) a $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$ rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że

łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się $\sigma ^{2}\left(\xi \right)$ .

Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności

zjawisk gospodarczo- społecznych ^[4].

Klasyczny model Sharpa

Dla każdego równania oszacowanego MNK (Metoda Najmniejszych Kwadratów) obiera się dwa parametry struktury stochastycznej modelu, które służą jako ocena stabilności modelu. Są to: odchylenie standardowe składnika resztowego i współczynnik korelacji wielorakiej . Odchylenie standardowe składnika resztowego jest niezbędne do wyznaczenia linii ograniczających, jeśli chodzi o zmiane stóp zwrotu akcji. Do stóp zwrotu akcji obliczonych na podstawie modelu dodaje się podwojoną wartość odchylenia standardowego składnika resztowego. W ten sposób otrzymuje się górną linię sygnałową. Dolna linia sygnałowa powstaje poprzez różnice cen akcji podwojonego odchylenia standardowego składnika resztowego ^[5].

Przypisy

↑ W. Makać, D. Urbanek-Krzysztofiak, "Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo UG, Gdańsk 2004
↑ M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263
↑ M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263
↑ M.Krzysztofiak, A. Luszmoewicz, "Statystyka" PWE, Warszawa 1976, s. 249
↑ W. Tarczyński, 2009 s. 200

Bibliografia

Goczek Ł., (2012.) Metody ekonometryczne w modelach wzrostu gospodarczego, Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych, Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego, Warszawa
Krzysztofiak M. Luszmoewicz A., (1976.) "Statystyka", PWE, Warszawa
Makać W. Urbanek-Krzysztofiak D., (2004.) "Metody opisu statystycznego", Wydawnictwo UG, Gdańsk
Piontek K., (2002.) Pomiar ryzyka metodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z "grubymi ogonami", Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczne we Wrocławiu, Wrocław
Sobczyk M., (2011.) "Statystyka", PWN, Warszawa
Tarczyński W., (2009.)O pewnym sposobie wyznaczania współczynnika beta na polskim rynku kapitalowym, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 15, 199-213, Uniwersytet Szczeciński

Autor: Nowacka Bernadeta Szymon Banach

[1] W. Makać, D. Urbanek-Krzysztofiak, "Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo UG, Gdańsk 2004

[2] M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263

[3] M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263

[4] M.Krzysztofiak, A. Luszmoewicz, "Statystyka" PWE, Warszawa 1976, s. 249

[5] W. Tarczyński, 2009 s. 200

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Linia 14: / Linia 14: @@
 }}
-Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych<br>
+Jest syntetycznym miernikiem <wyrażonym jedną liczbą> dyspersji wartości empirycznych
-wokół teoretycznych (zwana ''wariancją resztową'')<br>
-Jeśli przyjmiemy, że [[funkcja]] regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej<br>
+wokół teoretycznych (zwana ''wariancją resztową'')
-niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej<br>
-prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie [[działanie]]<br>
+Jeśli przyjmiemy, że [[funkcja]] regresji w syntetyczny sposób opisuje wpływ zmiennej
+niezależnej na zmienną zależną, to reszty są obrazem odchyleń od dostrzeżonej
+prawidłowości. Odchylenia te będą tym większe, im silniejsze będzie [[działanie]]
+czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.
-czynników o charakterze przypadkowym znikształcających obserwowany związek.<br>
 Miarą wahań przypadkowych jest właśnie '''[[wariancja]] resztowa''' <ref> W. Makać, D. Urbanek-Krzysztofiak, "Metody opisu statystycznego, Wydawnictwo UG, Gdańsk 2004 </ref>.
 <blockquote>
 <math>s^2\left (u_i)\right)</math> =<math> \frac{\sum_{i=1}^n \left (y_i-\bar{y}\right)^2}{\left (n-k\right)}</math> =<math> \frac{\sum_{i=1}^n u_i^2}{n-k}</math>
 </blockquote>
-gdzie ''n'' jest liczebnością próby, a ''k''- liczbą szacowanych [[parametr]]ów funkcji regresji<br>
+gdzie ''n'' jest liczebnością próby, a ''k''- liczbą szacowanych [[parametr]]ów funkcji regresji
 W przypadku funkcji regresji X względem Y wzór na wariancję resztową przyjmuje postać:
 <blockquote>
@@ Linia 32: / Linia 37: @@
 </blockquote>
-Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli ''[[odchylenie standardowe]] składnika resztowego'')<br>
+Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej (czyli ''[[odchylenie standardowe]] składnika resztowego'')
-informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych<br>
+informuje o tym, jakie jest przeciątne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych
 otrzymanych z funkcji regresji <ref> M.Sobczyk, [[Statystyka]], PWN, Warszawa 200, s. 263 </ref>.
-W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego<br>
+W miarę zwrostu liczbowej wartości odchylenia standardowego
-skłądnika resztowego statystyczna ''[[dobro]]ć'' dopasowania danej funkcji regresji do danych <br>
+skłądnika resztowego statystyczna ''[[dobro]]ć'' dopasowania danej funkcji regresji do danych
 empirycznych maleje.
-Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:<br>
+Wariancje składników resztowych można również wyznaczyć z następujących wzorów:
 <blockquote>
 <math>s^2\left (u_i\right)</math> = <math> s^2\left (y\right)</math>- <math>s^2\left (\bar{y_i}\right)</math>
@@ Linia 48: / Linia 58: @@
 <math>s^2\left (z_i\right)</math>= <math> s^2\left (x\right)\left[1-r_{x, y}\right]</math>
 </blockquote>
-Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji<br>
+Dowodzi się, że wariancja zaobserwowanych w próbie wartości zmiennej zależnej równa się sumie wariancji
 wartości teoretycznych oraz wariancji resztowej <ref> M.Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 200, s. 263 </ref>.
@@ Linia 56: / Linia 67: @@
 ===Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym===
-Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji<br>
+Zasadnicze różnice pomiędzy pojęciami składników losowych i skłądników resztowych w analizie regresji
-oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego <math>S^2</math>(u) a wariancją składnika losowego <math>\sigma^2</math>(<math>\xi</math>).<br>
-Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:<br>
+oraz różnica pomiędzy wariancją składnika resztowego <math>S^2</math>(u) a wariancją składnika losowego <math>\sigma^2</math>(<math>\xi</math>).
+Składnik resztowy możemy przedstawić jako funkcję błędów losowych i nielosowych o postaci:
 <blockquote>
-<center><math>u_i=f \left (c_1, c_2, c_3, c_4,\xi \right),</math></center><br>
+<center><math>u_i=f \left (c_1, c_2, c_3, c_4,\xi \right),</math></center>
 </blockquote>
 gdzie:
@@ Linia 69: / Linia 84: @@
 **<math>c_4</math>- błąd wynikający z innych (nielosowych) przyczyn
 *<math>\xi</math>- błąd o charakterze przypadkowym- (składnik losowy)
-Jest oczywiste, że funkcja regresji <math>\bar{y_i}</math>=f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",<br>
+Jest oczywiste, że funkcja regresji <math>\bar{y_i}</math>=f (x) jest tym lepiej dopasowana do regresji "prawdziwej",
-im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a <br>
+im łączne rozmiary błędów nielosowych są mniejsze, a
 '''wariancja składnika resztowego''' <math>S^2</math>(u) musi być większa od wariancji składnika losowego <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math>.
-<math>S^1</math>(u) jest bowiem punktową oceną <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math>. Im [[model]] regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej<br>
+<math>S^1</math>(u) jest bowiem punktową oceną <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math>. Im [[model]] regresji dwuwymiarowej jest gorzej dopasowany do badanej
-rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego<br>
-(różnica między <math>S^2</math>(u) a <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math> rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że <br>
+rzeczywistości, tym wariancja składnika resztowego jest "gorszą" oceną wariancji skłądnika losowego
-łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math>.<br>
-Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności<br>
+(różnica między <math>S^2</math>(u) a <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math> rośnie). Przy idealnym dopasowaniu modelu, tzn. przy założeniu, że
+łączny efekt błędów nielosowych jest równy 0, wariancja resztowa równałaby się <math>\sigma^2\left (\xi\right)</math>.
+Sytuacje takie nie występują jednak w praktyce ze wzsględu na złożony mechanizm kształtowania się zmienności
 zjawisk gospodarczo- społecznych <ref> M.Krzysztofiak, A. Luszmoewicz, "Statystyka" PWE, Warszawa 1976, s. 249 </ref>.
@@ Linia 92: / Linia 114: @@
 * Piontek K., (2002.) ''Pomiar ryzyka metodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z "grubymi ogonami"'', Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczne we Wrocławiu, Wrocław
 * Sobczyk M., (2011.) "Statystyka", PWN, Warszawa
-* Tarczyński W., (2009.)[http://bazhum.muzhp.pl/media//files/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15-s199-213/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15-s199-213.pdf ''O pewnym sposobie wyznaczania współczynnika beta na polskim rynku kapitalowym''], Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 15, 199-213, Uniwersytet Szczeciński
+* Tarczyński W., (2009.)[https://bazhum.muzhp.pl/media//files/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15-s199-213/Studia_i_Prace_Wydzialu_Nauk_Ekonomicznych_i_Zarzadzania-r2009-t15-s199-213.pdf ''O pewnym sposobie wyznaczania współczynnika beta na polskim rynku kapitalowym''], Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 15, 199-213, Uniwersytet Szczeciński
 </noautolinks>

Anonimowy

Szukaj

Wariancja składnika resztowego: Różnice pomiędzy wersjami

Przestrzenie nazw

Więcej

Działania na stronie

Wersja z 22:33, 29 paź 2023

Spis treści

TL;DR

Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym

Klasyczny model Sharpa

Przypisy

Bibliografia

Nawigacja

Encyklopedia

Narzędzia wiki

Narzędzia wiki

Anonimowy

Szukaj

Wariancja składnika resztowego: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 22:33, 29 paź 2023

TL;DR

Różnica między składnikiem resztowym a składnikiem losowym

Klasyczny model Sharpa

Przypisy

Bibliografia

Nawigacja

Narzędzia wiki

Narzędzia dla stron

Kategorie