Wartość oczekiwana

Z Encyklopedia Zarządzania
Wartość oczekiwana
Polecane artykuły

Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie . W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa [1] autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości na zbiorach .

Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej , której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej , czyli .

Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej , w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to . Dla liczb , którym odpowiadają wagi podany szereg jest średnią ważoną.

Dla zmiennej losowej , która przyjmuje wartości w definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor , jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.

Własności wartości oczekiwanej

Niech dane będą wartości oczekiwane i dla zmiennych losowych i , wtedy zachodzą następujące własności [2] :

  1. gdy jest stałą to ,
  2. gdy jest stałą to ,
  3. gdy są stałymi to ,
  4. jeżeli istnieje wartość ocekiwana to istnieje także i zachodzi równość ,
  5. gdy zachodzi ,
  6. ,
  7. gdy są niezależne to .

W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności [3]:

  1. (lemat Fatou) jeśli to, ,
  2. gdy jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy ,
  3. gdy jest całkowalną zmienną losową i jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi , wtedy .

W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów [4] :

  • .

Zastosowanie wartości oczekiwanej

Dla zmiennej losowej jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych [5]:

  • wriancja zmiennej losowej ,
  • kowariancja zmiennych losowych .

Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.

Przypisy

  1. J. Jakubowskiego i R. Sztencla (2001) s.79
  2. W. Krysicki (1999) s.66 i J. Jakubowski (2001) s.80
  3. J. Jakubowski (2001) s.80
  4. W. Kordecki (2012) s.11
  5. W. Kordecki (2012) s.11,12

Bibliografia

Autor: Mariola Klaś