Prawa De Morgana: Różnice pomiędzy wersjami
m (Dodanie MetaData Description) |
m (cleanup bibliografii i rotten links) |
||
| Linia 13: | Linia 13: | ||
</ul> | </ul> | ||
}} | }} | ||
'''Prawa de Morgana''' - rodzina praw logiki – zawsze prawdziwych zdań w logice - noszących nazwę pochodzącą od nazwiska jego odkrywcy, jakim jest August de Morgan. Oryginalne hasła należą do rachunku klas, jednak ich rodzina odnajduje swoje miejsce także w prawach dotyczących zdań oraz predykantów (występują zmienne w zdaniu przyjmujące wartości zarówno prawdziwe jak i fałszywe oraz posiadają formę złożoną) | '''Prawa de Morgana''' - rodzina praw logiki – zawsze prawdziwych zdań w logice - noszących nazwę pochodzącą od nazwiska jego odkrywcy, jakim jest August de Morgan. Oryginalne hasła należą do rachunku klas, jednak ich rodzina odnajduje swoje miejsce także w prawach dotyczących zdań oraz predykantów (występują zmienne w zdaniu przyjmujące wartości zarówno prawdziwe jak i fałszywe oraz posiadają formę złożoną) | ||
==Prawa logiki== | ==Prawa logiki== | ||
Prawa logiki nazywane także tautologią, są to zdania logiczne, które zawsze będą prawdziwe, bez względu na [[wartość]] logiczną, z której są zbudowane. Na ich podstawie szacuje się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich. Stanowią podstawę operacji w logice. | Prawa logiki nazywane także tautologią, są to zdania logiczne, które zawsze będą prawdziwe, bez względu na [[wartość]] logiczną, z której są zbudowane. Na ich podstawie szacuje się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich. Stanowią podstawę operacji w logice. | ||
==August de Morgan== | ==August de Morgan== | ||
'''August de Morgan'''- angielski matematyk i logik. Urodzony 27 czerwca 1806 roku w Maduraju (Indie). Od 1828 roku do 1866 roku, z pięcioletnią przerwą w 1831 r. wykładał matematykę w londyńskim University College. Po wielu latach badań nad sylogistyką opracował prawa, nazwane w późniejszym czasie jego nazwiskiem. Był jedynym z przyczyniających się do powstania logiki matematycznej, rozszerzając logikę arystotelesowską. Wprowadził termin „indukcja matematyczna”. Zajmował się także innymi dziedzinami matematyki. Były to: algebra, [[prawdopodobieństwo]], historia matematyki. Zmarł 18 marca 1871 roku w Londynie. | '''August de Morgan'''- angielski matematyk i logik. Urodzony 27 czerwca 1806 roku w Maduraju (Indie). Od 1828 roku do 1866 roku, z pięcioletnią przerwą w 1831 r. wykładał matematykę w londyńskim University College. Po wielu latach badań nad sylogistyką opracował prawa, nazwane w późniejszym czasie jego nazwiskiem. Był jedynym z przyczyniających się do powstania logiki matematycznej, rozszerzając logikę arystotelesowską. Wprowadził termin „indukcja matematyczna”. Zajmował się także innymi dziedzinami matematyki. Były to: algebra, [[prawdopodobieństwo]], historia matematyki. Zmarł 18 marca 1871 roku w Londynie. | ||
==I Prawo de Morgana== | ==I Prawo de Morgana== | ||
I [[prawo]] De Morgana '''jest prawem zaprzeczenia koniunkcji'''. Określa się je wzorem: | I [[prawo]] De Morgana '''jest prawem zaprzeczenia koniunkcji'''. Określa się je wzorem: | ||
'''~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)'''. | '''~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)'''. | ||
Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań '''(∼(p ∧ q))''' jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań '''((∼p) ∨ (∼q))''' (Lapis W. 2014 s. 19). | Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań '''(∼(p ∧ q))''' jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań '''((∼p) ∨ (∼q))''' (Lapis W. 2014 s. 19). | ||
| Linia 42: | Linia 42: | ||
==II Prawo de Morgana== | ==II Prawo de Morgana== | ||
II prawo de Morgana '''jest prawem zaprzeczenia alternatywy'''. Określa się je wzorem: | II prawo de Morgana '''jest prawem zaprzeczenia alternatywy'''. Określa się je wzorem: | ||
'''~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q)''' . | '''~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q)''' . | ||
Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań '''(∼(p ∨ q))''' jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań '''((∼p) ∧ (∼q))''' (Lapis W. 2014 s. 19). | Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań '''(∼(p ∨ q))''' jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań '''((∼p) ∧ (∼q))''' (Lapis W. 2014 s. 19). | ||
| Linia 49: | Linia 49: | ||
{| class="wikitable" style="text-align: center;" | {| class="wikitable" style="text-align: center;" | ||
|- | |- | ||
! p !! q !! p ∨ q !! ~(p ∨ q) !! ~p !! ~q !! (∼p) ∧ (∼q) !! ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) | ! p !! q !! p ∨ q !! ~(p ∨ q) !! ~p !! ~q !! (∼p) ∧ (∼q) !! ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) | ||
|- | |- | ||
| 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 | | 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 | ||
| Linia 57: | Linia 57: | ||
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1 | | 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1 | ||
|- | |- | ||
| 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 | | 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 | ||
|} | |} | ||
==Rachunek kwantyfikatorów== | ==Rachunek kwantyfikatorów== | ||
Prawa de Morgana także odnajdują swoje miejsce w rachunku kwantyfikatorów. Prawo rachunku kwantyfikatorów mówi o zdaniach zawierających kwantyfikatory oraz jest prawdziwe niezależnie od formy. Opisują one reguły zaprzeczania kwantyfikatorom. Określa się to wzorem: | Prawa de Morgana także odnajdują swoje miejsce w rachunku kwantyfikatorów. Prawo rachunku kwantyfikatorów mówi o zdaniach zawierających kwantyfikatory oraz jest prawdziwe niezależnie od formy. Opisują one reguły zaprzeczania kwantyfikatorom. Określa się to wzorem: | ||
'''~(∀x p(x)) ↔ ~(∃x ~p(x))''' | '''~(∀x p(x)) ↔ ~(∃x ~p(x))''' | ||
oraz | oraz | ||
'''~(∃x p(x)) ↔ (∀x ~p(x))'''. | '''~(∃x p(x)) ↔ (∀x ~p(x))'''. | ||
''Kwantyfikatory'' są symbolami służące do formułowania zdań takich jak: „dla każdego...” oraz „dla pewnego…” itp. w logice matematycznej (Trzęsicki K. 2008, s. 304). | ''Kwantyfikatory'' są symbolami służące do formułowania zdań takich jak: „dla każdego...” oraz „dla pewnego…” itp. w logice matematycznej (Trzęsicki K. 2008, s. 304). | ||
==Teoria Mnogości== | ==Teoria Mnogości== | ||
Prawa de Morgana w teorii mnogości odnajdują swoje miejsce w opisie działania dopełnienia. Prawa de Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów zapisuje się analogicznie jak w teorii mnogości. | Prawa de Morgana w teorii mnogości odnajdują swoje miejsce w opisie działania dopełnienia. Prawa de Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów zapisuje się analogicznie jak w teorii mnogości. | ||
==Inne ważne wzory z zakresu logiki== | ==Inne ważne wzory z zakresu logiki== | ||
Z zakresu logiki poza prawami odkrytymi przez Augusta de Morgana, spotkać możemy się także z prawami takimi jak: | Z zakresu logiki poza prawami odkrytymi przez Augusta de Morgana, spotkać możemy się także z prawami takimi jak: | ||
* prawo podwójnej negacji: ~(~p) ) ↔ p | * prawo podwójnej negacji: ~(~p) ) ↔ p | ||
* przemienność alternatywy: p ∨ q ↔ q ∨ p | * przemienność alternatywy: p ∨ q ↔ q ∨ p | ||
| Linia 80: | Linia 80: | ||
* rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) | * rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) | ||
* prawo wyłączonego środka: p v p~ | * prawo wyłączonego środka: p v p~ | ||
* prawo zaprzeczenia implikacji: ~(p → q) ↔ p ∧ ~q | * prawo zaprzeczenia implikacji: ~(p → q) ↔ p ∧ ~q | ||
* prawo zastąpienia równoważności implikacją: (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] | * prawo zastąpienia równoważności implikacją: (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] | ||
* prawo kontrapozycji: (p → q) ↔ (~q → ~p) | * prawo kontrapozycji: (p → q) ↔ (~q → ~p) | ||
* prawo odrywania: [(p → q) ∧ p] → q | * prawo odrywania: [(p → q) ∧ p] → q | ||
* prawo eliminacji implikacji: (p → q) ↔ (~p) ∨ q (Lapis W. 2014, s. 17). | * prawo eliminacji implikacji: (p → q) ↔ (~p) ∨ q (Lapis W. 2014, s. 17). | ||
==Bibliografia== | ==Bibliografia== | ||
<noautolinks> | |||
* Lapis W. (2014) ''[http://logic.amu.edu.pl/images/archive/3/3b/20111002192734!Wdm.pdf Matematyka dla laika]'' „Matematyka dla laika”, s. 1 – 132 | * Lapis W. (2014) ''[http://logic.amu.edu.pl/images/archive/3/3b/20111002192734!Wdm.pdf Matematyka dla laika]'' „Matematyka dla laika”, s. 1 – 132 | ||
* Marciszewski W. (2003) ''[http://www.calculemus.org/lect/L-I-MNS/04/ORdeMorg.pdf Prawa de Morgana i ich zastosowania]'', „Logika”, s. 1 – 4 | * Marciszewski W. (2003) ''[http://www.calculemus.org/lect/L-I-MNS/04/ORdeMorg.pdf Prawa de Morgana i ich zastosowania]'', „Logika”, s. 1 – 4 | ||
* Trzęsicki K. (2008) '' | * Trzęsicki K. (2008) ''Logika Nauka i sztuka'', s. 4 – 439 | ||
</noautolinks> | |||
[[Kategoria: Prawo]] | [[Kategoria: Prawo]] | ||
Wersja z 10:01, 28 paź 2023
| Prawa De Morgana |
|---|
| Polecane artykuły |
Prawa de Morgana - rodzina praw logiki – zawsze prawdziwych zdań w logice - noszących nazwę pochodzącą od nazwiska jego odkrywcy, jakim jest August de Morgan. Oryginalne hasła należą do rachunku klas, jednak ich rodzina odnajduje swoje miejsce także w prawach dotyczących zdań oraz predykantów (występują zmienne w zdaniu przyjmujące wartości zarówno prawdziwe jak i fałszywe oraz posiadają formę złożoną)
Prawa logiki
Prawa logiki nazywane także tautologią, są to zdania logiczne, które zawsze będą prawdziwe, bez względu na wartość logiczną, z której są zbudowane. Na ich podstawie szacuje się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich. Stanowią podstawę operacji w logice.
August de Morgan
August de Morgan- angielski matematyk i logik. Urodzony 27 czerwca 1806 roku w Maduraju (Indie). Od 1828 roku do 1866 roku, z pięcioletnią przerwą w 1831 r. wykładał matematykę w londyńskim University College. Po wielu latach badań nad sylogistyką opracował prawa, nazwane w późniejszym czasie jego nazwiskiem. Był jedynym z przyczyniających się do powstania logiki matematycznej, rozszerzając logikę arystotelesowską. Wprowadził termin „indukcja matematyczna”. Zajmował się także innymi dziedzinami matematyki. Były to: algebra, prawdopodobieństwo, historia matematyki. Zmarł 18 marca 1871 roku w Londynie.
I Prawo de Morgana
I prawo De Morgana jest prawem zaprzeczenia koniunkcji. Określa się je wzorem: ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q). Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań (∼(p ∧ q)) jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań ((∼p) ∨ (∼q)) (Lapis W. 2014 s. 19).
Tabela poniżej przedstawia zestaw wartości logicznych w I Prawie de Morgana:
| p | q | p ∧ q | ~(p ∧ q) | ~p | ~q | (∼p) ∨ (∼q) | ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
II Prawo de Morgana
II prawo de Morgana jest prawem zaprzeczenia alternatywy. Określa się je wzorem: ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) . Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań (∼(p ∨ q)) jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań ((∼p) ∧ (∼q)) (Lapis W. 2014 s. 19).
Tabela poniżej prezentuje zestaw wartości logicznych w II Prawie de Morgana
| p | q | p ∨ q | ~(p ∨ q) | ~p | ~q | (∼p) ∧ (∼q) | ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Rachunek kwantyfikatorów
Prawa de Morgana także odnajdują swoje miejsce w rachunku kwantyfikatorów. Prawo rachunku kwantyfikatorów mówi o zdaniach zawierających kwantyfikatory oraz jest prawdziwe niezależnie od formy. Opisują one reguły zaprzeczania kwantyfikatorom. Określa się to wzorem: ~(∀x p(x)) ↔ ~(∃x ~p(x)) oraz ~(∃x p(x)) ↔ (∀x ~p(x)). Kwantyfikatory są symbolami służące do formułowania zdań takich jak: „dla każdego...” oraz „dla pewnego…” itp. w logice matematycznej (Trzęsicki K. 2008, s. 304).
Teoria Mnogości
Prawa de Morgana w teorii mnogości odnajdują swoje miejsce w opisie działania dopełnienia. Prawa de Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów zapisuje się analogicznie jak w teorii mnogości.
Inne ważne wzory z zakresu logiki
Z zakresu logiki poza prawami odkrytymi przez Augusta de Morgana, spotkać możemy się także z prawami takimi jak:
- prawo podwójnej negacji: ~(~p) ) ↔ p
- przemienność alternatywy: p ∨ q ↔ q ∨ p
- przemienność koniunkcji: p ∧ q ↔ q ∧ p
- łączność alternatywy: (p ∨ q) ∨ r ↔ ∨ (q ∨ r)
- łączność koniunkcji: (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)
- rozdzielność koniunkcji względem alternatywy: p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- prawo wyłączonego środka: p v p~
- prawo zaprzeczenia implikacji: ~(p → q) ↔ p ∧ ~q
- prawo zastąpienia równoważności implikacją: (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)]
- prawo kontrapozycji: (p → q) ↔ (~q → ~p)
- prawo odrywania: [(p → q) ∧ p] → q
- prawo eliminacji implikacji: (p → q) ↔ (~p) ∨ q (Lapis W. 2014, s. 17).
Bibliografia
- Lapis W. (2014) Matematyka dla laika „Matematyka dla laika”, s. 1 – 132
- Marciszewski W. (2003) Prawa de Morgana i ich zastosowania, „Logika”, s. 1 – 4
- Trzęsicki K. (2008) Logika Nauka i sztuka, s. 4 – 439
Autor: Tomasz Mirocha
.
