Estymacja

Estymacja
Polecane artykuły
Przedział ufności Estymator nieobciążony Test zgodności chi-kwadrat Estymator Zmienna losowa Regresja liniowa Dominanta Percentyl Estymator obciążony

Estymacja jest procesem polegającym na wskazaniu wartości oceny niewiadomego parametru zbiorowości, którego podstawą są wyniki obserwowane w próbie. Parametr można określać na dwa sposoby. Przez podanie wartości liczbowej estymatora, traktowanej jako niewiadomą wartość parametru (estymacja punktowa), albo wyznaczając przedział liczbowy, będący realizacją przedziału ufności pokrywającego niewiadomą liczbę parametru ze wskazanym prawdopodobieństwem (estymacja przedziałowa). Innymi słowy, wynikiem estymacji punktowej jest liczba, a wynikiem estymacji przedziałowej jest przedział na osi liczbowej.

Estymacja punktowa

Warto w tym miejscy przytoczyć definicję estymacji punktowej: "estymacja punktowa sprowadza się do tego, że należy znaleźć taką liczbę, którą w świetle przyjętych kryteriów dokładności oraz biorąc pod uwagę wyniki próby, można będzie uznać za najlepsze przybliżenie (ocenę) nieznanego, a interesującego nas parametru rozkładu rozpatrywanej zmiennej losowej" (Pawłowski Z., 1976, s. 60). Koniecznym jest dodanie, że przedmiotem estymacji może być zarówno jeden, jak i kilka parametrów. W przypadku drugim celem estymacji punktowej jest ukazanie wektora ocen parametrów.

Kiedy definiujemy estymację, używamy do tego pojęcia statystyki z próby. Przez to, że próba jest losowa, to każdy opis z próby jest zmienną losową, która jest funkcją obserwowanych w próbie zmiennych losowych, wskazaną na przestrzeni prób:

W_n = f (X₁, X₂, X₃, …, X_n),

Estymatorem Z_n parametru Q nazywamy taką statystykę z próby, której rozkład prawdopodobieństwa zależy od mierzonego parametru Q:

Z_n = f (X₁, X₂, X₃,..., X_n; Q).

Obserwujemy tutaj, że zmienną losową jest również estymator, którego rozkład określa rozkład zmiennej X w populacji i równocześnie jest zależny od Q. Wartość liczbową estymatora Z_n:

z_n = f (x₁, x₂,..., x_n)

nazywamy oceną parametru Q (w którym x₁, x₂,..., x_n - są realizacjami próby losowej n-elementowej.

Gdzie:

Q - parametr

Z_n - estymator

z_n - ocena parametru

n - liczebność próby

Koniecznym jest, aby zwrócić uwagę na właściwe zrozumienie trzech wyżej wymienionych pojęć. Z założenia parametr jest stały, nielosowy. Estymator jest losowy, gdyż jest funkcją wyników próby losowej. Ocena parametru to realizacja estymatora. W estymacji punktowej dochodzi do tego, że Q = z_n. Aby otrzymać niewielki błąd estymacji, czyli |z_n - Q|, trzeba zapewnić właściwe losowanie próby i wybranie jak najlepszego estymatora Z_n.

Estymacja przedziałowa

W przeciwieństwie do estymacji punktowej, w estymacji przedziałowej mówimy o jakimś przedziale ufności, który z wyznaczonym prawdopodobieństwem (bliskim jedności) pokrywa niewiadomą wartość szacowanego parametru. Najczęściej omawianą w praktyce istotą estymacji przedziałowej jest teoria przedziałów ufności.

Załóżmy, że cecha X posiada w populacji rozkład z niewiadomym parametrem Q. Zadaniem estymacji przedziałowej parametru Q jest wskazanie na podstawie próby losowej (X₁,..., X_n) wywodzącej się z tej populacji, takich dwóch funkcji f₁(X₁,..., X_n) i f₂(X₁,..., X_n), że dla każdego (X₁,..., X_n) mamy f₁ < f₂ i dla prawdopodobieństwa 1 - α zachodzi:

f₁(X₁,..., X_n) < Q < f₂(X₁,..., X_n).

Widać tutaj, że przedziałem ufności dla Q na poziomie ufności 1 - α (0 < α < 1) nazwiemy przedział (Z_n⁽¹⁾, Z_n⁽²⁾), który spełni dwa warunki:

• koniec Z_n⁽¹⁾ = f₁(X₁,..., X_n), Z_n⁽²⁾) = f₂(X₁,..., X_n) danego przedziału będzie funkcją próby losowej
• prawdopodobieństwo, że przedział niewiadomego parametru Q zostanie bez pokrycia jest równe 1 - α.

Reasumując parametr Q jest stałą nielosową, natomiast końce przedziału ufności są losowe, a właściwie pewnymi funkcjami rezultatów próby. Prawdopodobieństwo 1 - α nazywane jest współczynnikiem ufności. Aby zmierzyć precyzję estymacji przedziałowej należy wziąć pod uwagę długość przedziału ufności, czyli różnicę między górnym i dolnym końcem przedziału wyrażoną wzorem Z_n⁽²⁾ - Z_n⁽¹⁾.

Metody estymacji

Poza tym, że estymację dzielimy na punktową i przedziałową, to te dwie estymacje także mają swoje odpowiedniki, na które można je podzielić.

Estymacja punktowa dzieli się na:

• Estymacja wartości oczekiwanej
• Estymacja wariancji
• Estymacja wskaźnika struktury
• Estymacja współczynnika korelacji
• Estymacja parapetów liniowej funkcji regresji

Estymacja przedziałowa dzieli się na:

• Przedział ufności dla średniej
• Przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego
• Przedział ufności dla wskaźnika struktury
• Przedział ufności dla współczynnika korelacji liniowej

Bibliografia

• Dańska-Borsiak B. (2011). Dynamiczne modele panelowe w badaniach ekonomicznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź
• Hill J., Thomas L.C., Allen D.E. (2000). Experts' estimates of task durations in software development projects International Journal of Project Management, Nr 18
• Morgenshtern O., Raz T., Dvir D. (2007). Factors affecting duration and effort estimation errors in software development projects, Information and Software Technology, Vol. 49, Nr 8
• Pawłowski Z. (1976). Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa
• Raz T., Barnes R" Dvir D. (2003). A critical look at critical chain project mangement, Project Management Journal, Vol. 34, Nr 6
• Welfe A. (2014). Ekonometria. Metody i ich zastosowanie, PWE, Warszawa
• Woźniak M. (2002). Statystyka ogólna, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków

Autor: Dominik Juszczyk