Kowariancja

Kowariancja
Polecane artykuły
Wariancja Średnia Estymator obciążony Współczynnik korelacji rang Spearmana Wartość oczekiwana Dominanta Kurtoza Metody statystyczne Estymacja

Kowariancja jest to wielkość charakteryzująca wspólne zmiany dwóch zmiennych X i Y. Jest oczekiwana wartością iloczynu odchyleń wartości zmiennych X i Y od ich wartości oczekiwanych.
Zakładając, że X i Y to para zmiennych losowych o rozkładach normalnych i średnich $\mu _{x}$ i $\mu _{y}$ oraz standardowych odchyleniach $\sigma _{x}$ i $\sigma _{y}$. Kowariancję dwóch zmiennych X i Y liczymy ze wzoru: $cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$ co można też przedstawić w postaci: $cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

Własności kowariancji

1. Kowariancja to parametr mianowany, czyli miano jest iloczynem jednostek obu zmiennych.
2. Może on przyjmować dodatnie oraz ujemne wartości:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -D (X) ⋅ D (Y) \le C (X, Y) \le D (X) ⋅ D (Y)}

1. Kiedy jedna zmienna jest funkcją liniową drugiej zmiennej to kowariancja osiąga skrajne wartości:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X = a_{x|y} + b_{x|y} Y \longleftrightarrow C (X, Y) = \pm D (X) ⋅ D (Y) oraz Y = a_{y|x} + b_{y|x} X \longleftrightarrow C (X, Y) = \pm D (X) ⋅ D (Y)}

1. Parametr równa się 0, jeśli zmienne X i Y są niezależnie stochastyczne.
2. Jest on również symetryczny:

$C(X,Y)=C(Y,X)$

1. Zachodzi równość między kowariancją zmiennej X oraz wariancją zmiennej X:

$C(X,X)=D^{2}(X)$

1. Kowariancja liniowych funkcji zmiennych X i Y równa się:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle C[(s+tX), (c+dY)] = t ⋅ d ⋅ C (X, Y)} (G. Lissowski, J. Haman, M. Jasiński 2011, s. 26-27)

Opisy wartości kowariancji

• Dodatnia wartość kowariancji cov (X, Y) > 0 oznacza, że przy wzroście wartości X wartości Y na ogół także rosną, przy czym relacja ta ma charakter symetryczny względem zmiennych. Mówimy w takim przypadku, że zmienne X i Y są skorelowane dodatnio (pozytywnie).
• Ujemna wartość kowariancji cov (X, Y) < 0 będzie zatem oznaczała, że przy wzroście X wartości Y na ogół maleją. W takim przypadku powiemy, że zmienne X i Y są skorelowane ujemnie (negatywnie).
• Może również wystąpić sytuacja, że przy wzroście X poziom wartości Y, generalnie biorąc nie zmienia się. Wtedy cov (X, Y) = 0 i mówimy, że zmienne X i Y są nieskorelowane.

Łatwo wykazać, że dla zmiennych niezależnych kowariancja przyjmuje wartość 0, czyli zmienne niezależne są także nieskorelowane. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, czyli zmienne, dla których cov (X, Y) = 0, mogą być zależne.

Wady

Wadą kowariancji jako charakterystyki zależności jest to, że jej wartość zależy od jednostek pomiaru obu cech. W konsekwencji kowariancja nie może określać stopnia intensywności (siły) zależności. Służy do pomiaru korelacji między zmiennymi X i Y. Jeżeli podzielimy kowariancję przez standardowe odchylenia obu zmiennych, to otrzymamy miarę, która przyjmuje wartości z przedziału od -1 do 1, i informuje nas o sile liniowego związku między zmiennymi. Tą miarą jest właśnie współczynnik korelacji (w populacji).
Współczynnik korelacji w populacji:
$\rho ={\frac {cov(X,Y)}{\sigma x\sigma y}}$

Bibliografia

• Aczel A.D. (2006), Statystyka z zarządzaniu, Wyd. PWN, Warszawa
• Gamrot W. (2012), O wykorzystaniu metody ważenia danych do estymacji kowariancji przy brakach odpowiedzi. Acta Universitatis Lodziensis. Folia Oeconomica, Nr 271
• Kot S., Jakubowski J., Sokołowski A. (2011), Statystyka, Difin, Warszawa
• Lissowski G., Haman J., Jasiński M. (2011), Podstawy statystyki dla socjologów, Wyd. Naukowe SCHOLAR, Warszawa
• Podgórski J. (2005), Statystyka dla studów licencjackich, Wyd. PWN, Warszawa
• Porcealuk P. (2015), Zastosowanie kowariancji do szacowania spreadu bid-ask dla akcji notowanych na GPW w Warszawie. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego. Finanse. Rynki finansowe. Ubezpieczenia, Nr 75 Rynek kapitałowy: skuteczne inwestowanie
• Walasiak M., Gatnar E. (2012), Statystyczna analiza danych, Wyd. naukowe PWN, Warszawa
• Walat K., Łagoda T. (2009), Wykorzystanie ekstremum kowariancji w płaszczyźnie krytycznej do wyznaczania trwałości zmęczeniowej przy losowym zginaniu ze skręcaniem. Acta mechanica et automatica, Vol. 3, Nr 1
• Zając K. (1988), Zarys metod statystycznych, PWE, Warszawa

Autor: Anna Rycerska, Andrzej Juraszek