Wariancja

Wariancja
Polecane artykuły
Metody statystyczne Estymator obciążony Percentyl Test zgodności chi-kwadrat Zmienna losowa Kwartyl Średnia Przedział ufności Współczynnik korelacji rang Spearmana

Wariancja to podstawowa klasyczna miara zróżnicowania. Definiowana jest ona jako średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej zbiorowości. Wariancję zmiennej losowej $X\;$ oznaczamy jako $D^{2}(X)\;$, dana jest ona wzorem:

$D^{2}(X)=E[(X-m)^{2}]\;$

gdzie:

• $E[A]\;$ - to wartość oczekiwana zmiennej losowej A, gdzie $A=(X-m)^{2}$
• $m\;$ - to wartość oczekiwana zmiennej losowej X.

Wariancja to wielkość dodatnia. Jest ona zerem wtedy, i tylko wtedy, gdy $x_{1}=x_{2}=...=x_{N}=\ {\bar {x}}$ (Sobczyk M. 2010, s. 62).

Kiedy dane opisują próbę, to oznaczana jest ona $s^{2}$. Aby obliczyć jej wartość dzielimy sumę kwadratów odchyleń od średniej przez n - 1.

Jeżeli dane obejmować mają całą populację, wariancja oznaczana jest przez $\sigma ^{2}$ ($\sigma$ to mała grecka litera sigma, dlatego też wariancja nazywana jest sigmą kwadrat (B. Witkowski 2018, s. 38).

Analiza wariancji

Dla dowolnych zmiennych losowych $X\;$ oraz $Y\;$ prawdziwe są zależności:

a) $D^{2}(X)=E(X^{2})-m^{2}\;$,

b) $D^{2}(cX)=c^{2}D^{2}(X)\;$, dla każdego $c\;$ rzeczywistego,

c) $D^{2}(X+Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)\;$, dla $D^{2}(X)$ oraz $D^{2}(Y)$ skończonych.

Estymatory

• Wariancja dla szeregu wyliczającego

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\ {\bar {x}})^{2}$

• Wariancja dla szeregu rozdzielczego punktowego

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}(x_{i}-\ {\bar {x}})^{2}n_{1}$

• Wariancja dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}({\dot {x}}_{i}-\ {\bar {x}})^{2}n_{i}$

Właściwości wariancji

• Wariancja wartości zmiennej to różnica pomiędzy średnią arytmetyczną kwadratów wartości zmiennej a kwadratem średniej arytmetycznej tej zmiennej.

$s^{2}=\ {\bar {x}}^{2}-(\ {\bar {x}})^{2}$

• Wariancja stałej jest równa zero.
• Jeśli zbiorowość, którą badamy podzielimy według jakiegoś konkretnego kryterium na k grup, to dla całej zbiorowości wariancja (wariancja ogólna) będzie sumą dwóch składników: wariancji wewtątrzgrupowej (średniej arytmetycznej wewnątrzgrupowych wariancji wartości zmiennej) oraz wariancji międzygrupowej (wariancji średnich grupowych wartości tej zmiennej).
• Wariancja jako suma kwadratów podzielona przez dodatnią liczbę to za każdym razem wielkość mianowana i nieujemna. Jej mianem jest kwadrat jednostki fizycznej, w jakiej badana cecha jest mierzona. Wartość wariancji będzie tym wyższa, im bardziej zróżnicowana jest zbiorowość.
• Jeżeli wariancja jest obliczona na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych, to jest ona wielkością zawyżoną. Jest to spowodowane faktem, iż do obliczeń wykorzystywane nie są średnie arytmetyczne poszczególnych klas, ale środki przedziałów klasowych (w takim przypadku nie da się obliczyć tych średnich ponieważ rozkład liczebności pomiędzy wartości cechy nie jest znany). Dlatego, że liczba przedziałów klasowych jest na z reguły odwrotnie proporcjonalna do ich rozpiętości, tym większe będzie przeszacowanie wariancji, im mniejsza będzie liczba klas. Aby zmniejszyć popełniony błąd stosuje się poprawkę Shepparda. Jest ona równa ${\frac {1}{12}}i^{2}$, gdzie i oznacza rozpiętość klas. Poprawka Shepparda może być stosowana jedynie w szeregu rozdzielczym o równych rozpiętościach wszystkich klas.
• Wariancja to wielkość kwadratowa (jest ona wyrażona w jednostkach o wyższym stopniu niż poziom wartości cechy badanej). By otrzymać miarę zróżnicowania o liniowej postaci (jej miano jest zgodne z mianem cechy badanej), wyciągamy pierwiastek kwadratowy z wariancji (A. Sobczyk 2002, s. 51). Pierwiastek kwadratowy z wariancji (dodatni) to miara zróżnicowania zwana odchyleniem standardowym.

Odchylenie standardowe oznaczamy $\sigma (X)$ , gdzie :

$\sigma (X)={\sqrt {D^{2}(X)}}$

Bibliografia

• Fisz W. (1969), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Kornacki J. (2006) Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych (2006), Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa
• Krasicki W. (1986), Rachnek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach , Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Ombach J. (2000), Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo - MAPLE, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków
• Piontek K. Modelowanie Finansowych Szeregów Czasowych z Warunkową Wariancją, Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
• Sagan A. (2003), Model Pomiarowy Satysfakcji i Lojalności, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Sat Sof Polska
• Sobczyk M. (2007), Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Sobczyk M. (2010), Statystyka opisowa, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa
• Witkowski B. (red.) (2018) Statystyka w zarządzaniu., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

Autor: Anna Dziadosz, Paweł Dykas