Prawdopodobieństwo warunkowe
| Prawdopodobieństwo warunkowe |
|---|
| Polecane artykuły |
Prawdopodobieństwo warunkowe ( względne ) występuje, gdy mamy do czynienia ze zdarzeniem A, którego prawdopodobieństwo zależy od zdarzenia B.
Zdarzenia A oraz B nazywamy wtedy zdarzeniami zależnymi. (Sobczyk M. 2002, s. 82)
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B, oznaczane jest symbolem P (A \ B) i wyraża się wzorem:
Prawdopodobieństwo warunkowe określa szansę zajęcia jakiegoś zdarzenia, gdy wiadomo, jakie zdarzenia już zaszły. (Siwek E. 2002)
Prawdopodobieństwo P (A\B) jest naogół różne od prawdopodobieństwa (bezwarunkowego lub apriori) zdarzenia A.
W pewnych przypadkach jednak informacja o zajściu zdarzenia B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A, tj.
Otrzymujemy wówczas:
TL;DR
Prawdopodobieństwo warunkowe występuje, gdy prawdopodobieństwo zdarzenia A zależy od zdarzenia B. Prawdopodobieństwo warunkowe określa szansę zajścia zdarzenia, gdy wiadomo, jakie zdarzenia już zaszły. Przykładem jest prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby punktów w grze. Wzór Bayesa pozwala obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe dla różnych hipotez.
Przykłady
Przykład 1
Załóżmy, że pomyślne ukończenie gry (wygrana) uzależnione jest od uzyskania 11 punktów w dwóch kolejnych rzutach
(lub dwoma kostkami jednocześnie).
Jakie jest prawdopodobieństwo osiągnięcia takiego wyniku?
W pierwszym rzucie dwa wyniki nie przekreślają szans uzyskania potrzebnej liczby punktów: są to liczby 5 i 6. Prawdopodobieństwo
uzyskania jednej z nich wynosi:
Liczba punktów, które musimy uzyskać w drugim rzucie, aby spełnione zostało przyjęte założenie, jest już ściśle uwaunkowana wynikiem
uzyskanym w pierwszym rzucie (mamy więc do czynienia z prawdopodobieństwiem warunkowym).
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A, oznaczymy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P\left (B\setminus A\right)}
.
Tak więc w przypadku uzyskania w pierwszym rzucie 5 punktów, w drugim jedynie wyrzucenie 6 punktów da nam potrzebną sumę punktów.
I odwrotnie, jeśli w pierwszym rzucie uzyskamy 6 punktów, to w drugim jedynie wyrzucenie 5 punktów odpowiada przyjętemu założeniu.
A zatem prawdopodobieństwo uzyskania 11 punktów w dwóch kolejnych rzutach kostką wynosi:
Przykład 2
Dzieci miały zaopatrzyć łódkę taty w wodę mineralną przed jego wyjazdem z kolegą na ryby. W domu byłby dwie skrzynki: jedna z wodą
mineralną, a druga z lemoniadą. Czteroletni Jacek przyniósł 3 butelki, a młodsza o rok agatka dwie. Wyjmując butelkę, już na jeziorze, tata
zobaczył, że woda zmyła z niej nalepkę. Kolega taty zauważył, że wyjęta butelka wygląda tak samo, jak butelka lemoniady.
Z jaki prawdopodobieństwem panowie napiją się wody mineralnej, jeżeli prawd., że Agatka przyniosła wodę, a nie lemoniadę, wynosi Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \frac{1}{2}}
natomiast w przypadku Jacka prawdopodobieństwo to wynosi Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \frac{3}{4}}
rozwiązanie
Dzieci chciały przynieść wodę, a nie lemoniadę więc każde wzięło wszystkie swoje butelki z jednej skrzynki. Niech A oznacza, że panowie
trafili na wodę. Przyjmiemy hipotezę H, że wyjęta butelka jest jedną z przyniesionych przez Jacka i zastosujemy wzór:
Mamy:
Teraz obliczamy:
Wzór Bayesa
Wzór ten wyraża prawdopodobieństwo warunkowe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P\left (H_1\setminus A\right)}
każdego z wzajemnie niezależnych zdarzeń Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_1, H_2, H_3,... H_n}
.,
o dodatnich prawdopodobieństwach, których suma jest całą przestrzenią zdarzeń elementarnych względem zdarzenia A o dodatnim prawdopodob.
Wiemy, że
Zastępując prawdopodobieństwo P (A) w mianowniku ostatniego ułamka przez:
otrzymujemy:
zwany wzorem Bayesa. Wzór ten pozwala oliczyć prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_1}
, w doświadczeniu, w którym
zaszło zdarzenie A. Analogiczne związki zachodzą również dla pozostałych hipotez Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_2, H_3,... H_n}
.
Można z nich obliczyć prawdopodobieństwa warunkowe przyjętych wcześniej hipotez na podstawie wyniku doświadczenia po jego przeprowadzeniu. (Siwek E. 2002)
Bibliografia
- Durka P. J. (2002) Wstęp do współczesnej statystyki, Wydawnictwo Adamantan, Warszawa
- Kornacki J. (2006) Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych (2006), Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa
- Siwek E. (2002) Słownik encyklopedyczny, Cykada, Katowice
- Sobczyk M. (2002) Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Sobczyk M. (2010) Statystyka opisowa, Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
- Witkowski B. (red.) (2018) Statystyka w zarządzaniu., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Zieliński R. (2004) Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
Autor: Anna Dziadosz, Bernadeta Nowacka
